Differensieringsberegning: Begrep og regler for differensiering | Optimaliseringsteknikk

Optimaliseringsteknikker er et viktig sett med verktøy som kreves for effektiv styring av firmaets ressurser.

I det følgende vil vi fokusere på bruk av differensialkalkulus for å løse visse typer optimaliseringsproblemer.

Differensialberegning: Begrepet et derivat :

Ved å forklare helningen på en kontinuerlig og jevn, ikke-lineær kurve når en endring i den uavhengige variabelen, det vil si AX blir mindre og nærmer seg null, blir ∆Y / ∆X bedre tilnærming til helningen funksjonen, Y = f (X ), på et bestemt punkt. Således, hvis inX er uendelig liten, måler ∆Y / theX funksjonens helning på et bestemt punkt og kalles derivatet av funksjonen med hensyn til X. Derivatet dY / dX eller mer presist det første derivatet av en funksjon er definert som grense for forholdet ∆Y / ∆X når ∆X nærmer seg null. Og dermed

dY / dX = grense ∆X → 0 ∆Y / ∆X

Det er således tydelig at derivat av en funksjon viser verdiendringen til den avhengige variabelen når endring i den uavhengige variabelen (∆X) blir uendelig liten. Legg merke til at derivat av en funksjon [Y = f (X)] også er skrevet som d (fX) / dX. Eller f '(X).

Som forklart ovenfor, måler det deriverte av en funksjon på et punkt hellingen til tangenten på det punktet. Tenk på figur 5.6 når ∆X = X 3 - X 1, er helningen på den korresponderende rette linjen AB lik Y 3- Y 1 / X 3 -X 1 blir mindre og er lik X 2 -X 1, helningen av den tilsvarende linje AC er lik Y 2- Y 1 / X 2 -X 1 .

Det fremgår av figur 5.6 at helningen på linjen AC er mer nær skråningen til tangenten tt trukket ved punkt A til funksjonskurven. Tilsvarende, hvis ∆X reduseres ytterligere, vil helningen av den rette linjen mellom de to korresponderende punktene fortsette å bli nærmere og nærmere skråningen til tangenten tt trukket i punkt A til kurven. Ved grensen til ∆Y / ∆X når ∆X nærmer seg null, blir helningen av tangenten som tt på et punkt på en funksjon det deriverte dY / dX av funksjonen med hensyn til X.

Dermed er derivat dY / dX helningen av en funksjon enten det er lineært eller ikke-lineært og representerer en endring i den avhengige variabelen på grunn av en liten endring i den uavhengige variabelen. Begrepet et derivat blir mye brukt i økonomi og ledelsesmessige beslutninger, spesielt for å løse optimaliseringsproblemer som de som oppnår gevinstmaksimering, kostnadsminimering, produksjon og inntektsmaksimering. Det er forskjellige typer funksjoner, og for dem er det forskjellige regler for å finne derivatene. Vi vil nedenfor forklare de grunnleggende reglene for å finne derivater av de forskjellige funksjonstypene.

Regler for differensiering:

Prosess for å finne derivatet til en funksjon kalles differensiering. Som nevnt ovenfor representerer derivat av en funksjon endringen i den avhengige variabelen på grunn av en uendelig liten endring i den uavhengige variabelen og er skrevet som dY / dX for en funksjon Y = f (X). Det er avledet en rekke regler for å differensiere forskjellige typer funksjoner. Vi beskriver nedenfor disse differensieringsreglene.

Derivat av en konstant funksjon:

En konstant funksjon uttrykkes som

Y = f (X) = a

Hvor 'a' er konstant. Den konstante 'a' innebærer at Y ikke varierer ettersom X varierer, det vil si. Y er uavhengig av X. Derfor er derivatet av en konstant funksjon lik null. Dermed i denne konstante funksjonen

dy / dx = 0

La for eksempel den konstante funksjonen være Y = 2, 5

Dette er tegnet i figur 5.7 (a). Det vil sees at en konstant funksjon er en horisontal rett linje (med en null helling) som viser at uavhengig av verdien til variabelen X, endres ikke verdien i Y i det hele tatt. Derfor er derivat dY / dX = 0.

Derivat av en kraftfunksjon:

En strømfunksjon har følgende form:

Y = aXb

Hvor a og b er konstanter. Her er a koeffisienten for X-termen og variabelen X heves til kraften b. Derivatet av denne kraftfunksjonen er lik kraften b multiplisert med koeffisienten en ganger variabelen X hevet til kraften b - 1. Således er regelen for derivatet av kraftfunksjonen (Y = a Xb)

dY / dX = ba Xb-

La oss ta noen eksempler på å bestemme derivatet til en kraftfunksjon.

Ta først følgende strømfunksjon:

Y = 1, 5 X

I denne funksjonen 1, 5 er koeffisienten til variabel X, det vil si a og kraften b til X er 1 (implisitt). Ved å bruke regelen ovenfor for derivat av en kraftfunksjon vi har

dY / dX = 1 X 1, 5 X1-1 = 1 X 1, 5 X 0 = 1, 5 X0 = 1, 5

Dette er grafisk vist på figur 5.7 (b). Det vil sees fra denne figuren at helningen av den lineære funksjonen (Y = 1, 5 X) er konstant og er lik 1, 5 over et hvilket som helst område av verdiene til variablene X.

Kvadratisk kraftfunksjon:

La oss ta følgende eksempel på en kraftfunksjon som er av kvadratisk type:

Y = X2

Dets derivat, dy / dx = 2X2-1 = 2X1 = 2X

For å illustrere det har vi beregnet verdiene til Y, assosiert med forskjellige verdier av X som 1, 2, 2.5 og -1, -2, -2.5 og er vist i tabell 5.3.

Vi har plottet verdiene til X og tilsvarende verdier av Y for å få en U-formet parabolsk kurve i figur 5.8. Det vil sees at deriverte dY / dX eller med andre ord skråningen av denne kvadratiske funksjonen endres ved forskjellige verdier av X.

Noen andre eksempler på maktfunksjon og derivater derav er:

Det skal bemerkes at enhver variabel hevet til nulleffekten (som i vårt eksempel X0) er lik

For kraftfunksjon,

Y = 3X-2

dY / dX = -2 x 3.X-2-1 = -6X-3

Derivat av en sum eller forskjell på to funksjoner :

Derivatet av en sum av de to funksjonene er lik summen av derivatene oppnådd separat av de to funksjonene.

Derivat av et produkt av de to funksjonene :

Anta Vis produktet av de to separate funksjonene f (X) og g (X).

Y = f (X). g (X)

Derivatet av produktet fra disse to funksjonene er lik den første funksjonen multiplisert med derivatet av den andre funksjonen pluss den andre funksjonen multiplisert med derivatet til den første funksjonen. Og dermed,

Derivatet av kvotienten til de to funksjonene:

Anta at variabelen 7 er lik kvoten på de to funksjonene f (X) og g (X). Det er,

Y = f (X) / g (X)

Derivatet av funksjonen til en funksjon (kjederegel) :

Når en variabel Y er funksjon av en variabel U som igjen er relatert til en annen variabel X, og hvis vi ønsker å få et derivat av Y med hensyn til X, bruker vi kjederegel for dette formålet. Anta at variabel Vis en funksjon av variabelen U, det vil si Y = f (U) og variabel U er en funksjon av variabel X, det vil si U = g (X). For å oppnå derivatet av Y med hensyn til X, det vil si dY / dX, finner vi først derivatet av de to funksjonene, Y = f (U) og U = g (X) hver for seg, og multipliserer dem deretter sammen. Og dermed,

I følge kjederegelen, hvis Y = f (U) og U = g (X), så kan derivat av Y med respekt X oppnås ved å multiplisere derivatet av Y med hensyn til U og derivatet av U med respekt til X

La oss ta noen eksempler for å illustrere denne kjederegelen

Anta at Y = U3 + 15 og a = 3X2

 

Legg Igjen Din Kommentar