Lineær programmering (forklart med diagrammer)

I. Generelle merknader:

Lineær programmering er en nylig utviklet teknikk for å tilveiebringe spesifikke numeriske løsninger på problemer som tidligere bare kunne løses i vage kvalitative termer ved å bruke apparatet til firmaets generelle teori.

Lineær programmering har dermed bidratt til å bygge bro mellom abstrakt økonomisk teori og ledelsesmessige beslutninger i praksis.

Bruken av lineær programmering utvides raskt på grunn av bruk av datamaskiner som raskt kan løse komplekse problemer som involverer optimal bruk av mange ressurser som er gitt til firmaet på et hvilket som helst tidspunkt og dermed setter begrensninger for firmaets valg. Lineær programmering kan betraktes som en operativ metode for å håndtere økonomiske forhold, som involverer diskontinuiteter. Det er en spesifikk tilnærming innenfor de generelle rammene for økonomisk teori.

De viktigste likhetene og forskjellene mellom tradisjonell økonomisk analyse og lineær programmering kan skisseres som følger. Begge tilnærminger viser hvordan økonomiske agenter (forbrukere eller produsenter) når optimale valg, hvordan de gjør sin planlegging eller programmering for å oppnå maksimal nytteverdi, maksimal fortjeneste, minimumskostnader, etc. Verken økonomisk teori eller lineær programmering sier noe om implementeringen av optimal plan eller løsning.

De henter ganske enkelt den optimale løsningen i enhver spesiell situasjon. På den måten er begge tilnærminger forhåndsmetoder som tar sikte på å hjelpe de økonomiske enhetene til å finne løsningen som oppnår deres mål (nyttemaksimering, gevinstmaksimering, kostnadsminimering) gitt ressursene (inntekt eller faktorinnsats) til enhver tid.

Imidlertid er i økonomisk teori vanligvis den optimale løsningen vist i kvalitative abstrakte termer, diagrammer eller generelle matematiske symboler, mens lineær programmering gir spesifikke numeriske løsninger på de spesielle optimaliseringsproblemene.

En annen forskjell mellom økonomisk analyse og lineær programmering er at sammenhengene mellom økonomisk teori vanligvis er ikke-lineære, avbildet av kurver (ikke rette linjer), mens i lineær programmering antas alle forhold mellom de involverte variablene å være lineære.

Metoder for ikke-lineær programmering har nylig blitt utviklet, men deres uttrykk innebærer sofistikert matematikk og vil ikke bli forsøkt her. Vi vil illustrere bruken av lineær programmering ved et enkelt eksempel på et firma som har en gitt mengde av tre produksjonsfaktorer som det kan produsere to varer, x og y. Foretakets problem, gitt ressursene, er å velge den optimale produktmixen som maksimerer firmaets fortjeneste.

II. Uttalelse om det lineære programmeringsproblemet:

Anta at et firma har følgende mengder produksjonsfaktorer

L = 400 arbeidskraft enheter (timer)

K = 300 enheter kapital (maskintimer)

S = 1000 enheter land (kvadratfot)

Firmaet kan produsere enten vare x eller vare y med følgende tilgjengelige prosesser (aktiviteter)

Produksjonen av en enhet x krever med andre ord 4 timers arbeidskraft, 1 maskintime og 2 kvadratmeter med land. Tilsvarende krever produksjonen av en enhet y 1 time arbeidskraft, 1 maskintime og 5 kvadratmeter med land. Råvare x gir en enhetsgevinst på £ 2, og råvare y gir en enhetsgevinst på £ 0, 5. Målet med firmaet er å velge den optimale produktmixen, det vil si blandingen som maksimerer den totale fortjenesten.

Den totale profittfunksjonen kan skrives som følger:

Z = 2X + 1 Y

hvor Z = total fortjeneste

X = mengde vare x (eller aktivitetsnivå A 1 )

Y = mengde vare y (eller aktivitetsnivå A 2 )

2 og 1 er enhetsgevinsten til de to varene. Den totale profittfunksjonen kalles objektivfunksjonen, fordi den uttrykker målsettingen til firmaet, som i vårt spesielle eksempel er maksimering av fortjenesten. Generelt er den objektive funksjonen den funksjonen som representerer målene for den økonomiske agenten.

Selskapet har flere begrensninger når det gjelder å maksimere sin objektive funksjon. Vi skiller to grupper av begrensninger, tekniske (eller funksjonelle) begrensninger og ikke-negativitetsbegrensninger. De tekniske begrensningene er satt av teknologitilstanden og tilgjengeligheten av produksjonsfaktorer.

Det er like mange tekniske begrensninger som produksjonsfaktorene. De uttrykker det faktum at mengdene av faktorer som vil bli absorbert i produksjonen av varene, ikke kan overstige de tilgjengelige mengdene av disse faktorene. Dermed har de teknologiske begrensningene form av ulikheter.

I vårt eksempel er de tekniske begrensningene følgende tre:

4X + 1 Y <400

1x + 1Y <300

2X + 5Y <1000

der X og Y er varenivået x og y (utnyttelsesnivåene til aktivitetene A 1 og A 2 ) og heltalene på venstre side er de tekniske produksjonskoeffisientene, det vil si faktorinngangene som kreves for produksjonen av en enhet av produktene x og y. Tallene på høyre side er ressursene selskapet har til disposisjon. Disse ulikhetsbegrensningene sier at nivåene av X og Y i optima-produktblandingen ikke bør kreve mer enn de tilgjengelige mengdene av de tre ressursene.

Ikke-negativitetsbegrensningene uttrykker nødvendigheten av at produksjonsnivåene til varene ikke kan være negative, siden negative mengder ikke gir mening i økonomien. Produksjonsnivået til en hvilken som helst vare kan enten være null eller positivt

X> 0

y> 0

Gitt ovennevnte informasjon, kan det lineære programmeringsproblemet formelt angis som følger:

Merk at alle begrensningene har form av ulikheter. Dermed kan ikke systemet løses med de vanlige metodene for løsning av samtidige ligninger. Den lineære programmeringsteknikken er designet for å håndtere løsningen av problemer som involverer ulikheter. Den grunnleggende tilnærmingen er at for iterasjon blir den optimale løsningen definert ved å undersøke settet med mulige alternative løsninger og gradvis eliminere de suboptimale løsningene til det optimale er nådd.

III. Bestemmelse av den optimale løsningen:

Den optimale løsningen er funnet ved tangency av grensen til regionen med gjennomførbare løsninger til høyest mulig isoprofit-kurve. Den optimale løsningen vil være et punkt på grensen til området av alle gjennomførbare løsninger, fordi ethvert punkt inne i dette området ligger på en nedre isoprofit-linje. Det er tydelig at den optimale løsningen avhenger av helningen på isoprofit-linjene, det vil si av forholdet mellom enhetsgevinsten til de to varene. I vårt eksempel er den optimale løsningen punkt G i figur 20.7.

På dette tidspunktet er produktblandingen 178 enheter y og 56 enheter x, og maksimal fortjeneste utgjør £ 290, som kan bekreftes fra profittfunksjonen

Z = 2X + 1Y = 2 (56) + 1 (178) = 290

Hvis isoprofit-linjens helning er lik hellingen til en av grenselinjene som definerer området for gjennomførbare løsninger, er det ingen unik optimal løsning på det lineære programmeringsproblemet. For eksempel, hvis π x / π y = l x / l y (= helling av AB som er grensen for faktoren "arbeid", vil alle punktene på segmentet GB være optimale løsninger.

Tilsvarende, hvis π x / π y - s x / s y (= helning av EF som er grensen for faktoren 'land'), vil alle punktene på segmentet EG for produksjonsmulighetsgrensen være optimale løsninger. Fra diskusjonen ovenfor skal det være åpenbart at en unik optimal løsning eksisterer hvis helningen på linjen som representerer objektivfunksjonen har en verdi som ligger innenfor området som er satt av skråningene til grenselinjene som angir de tekniske begrensningene for det lineære programmeringsproblemet.

Vi kan generalisere prosedyren ovenfor for bestemmelse av den optimale løsningen som følger:

Trinn 1:

Skriv de tekniske ulikhetene i form av likhetstrekk og løse dem for Y

l 1 x + / l 2 y = L

k 1 X + k 2 Y = K

s 1 X + s 2 Y = S

Å løse disse ligningene for Y får vi likningene av de tre grenselinjene:

Ligningen av grense L er

Helningen på L-grensen er

∂Y / ∂X = - l 1 / l 2

Vi kan trekke L-grensen ved å tilordne forskjellige verdier til X og plotte de resulterende punktene på en graf. (Verdien av L er gitt.)

Ligningen for grensen K er

Helningen på K-grensen er

∂Y / ∂X = - k 1 / k 2

Vi kan trekke K-grensen ved å tilordne forskjellige verdier til X (gitt verdien av K) og plotte de resulterende punktene på en graf.

Ligningen for grensen S er

Hellingen av S-grensen er

∂Y / ∂X = - s 1 / s 2

Vi kan trekke S-grensen ved å tildele forskjellige verdier til X (gitt mengden S) og plotte de resulterende punktene på en graf.

Steg 2:

Bestem regionen for gjennomførbare løsninger. Dette er området innenfor alle grenser satt av tekniske begrensninger. Bare de delene av områdene under de individuelle grenselinjene som sammenfaller, når de forskjellige grafene (fra trinn 1) kombineres, tilfredsstiller alle begrensningene.

Trinn 3:

Definer isoprofit-linjene ved å løse gevinstligningen for Y

Settet med isoprofit-linjer kan tegnes ved å tilordne forskjellige verdier til Z og til X.

Trinn 4:

Definer den optimale løsningen ved å sammenligne helningen på isoprofit-linjen med skråningene på grenselinjene som definerer området for gjennomførbare løsninger. Siden alle linjer har negative bakker, kan vi ignorere tegnene når vi gjør sammenligningen. I vårt eksempel er det kun to grenselinjer som definerer regionen med gjennomførbare løsninger. (Faktoren K setter ingen grense for valg av firma, gitt de andre faktorene L og S.)

Hellingene til grenselinjene er at vi konkluderer med at det er en unik løsning, og at denne optimale løsningen er definert av skjæringspunktet mellom de to grenselinjene som definerer området for gjennomførbare løsninger.

IV. Simplex-metoden:

Når variablene hvis verdier må bestemmes ut fra den lineære programmeringsmetoden er mer enn to, er den grafiske løsningen vanskelig eller umulig fordi vi trenger flerdimensjonale diagrammer. Følgende iterative metode for å oppnå den optimale løsningen, som kalles simplex-metoden, kan brukes.

Vi vil illustrere simplex-metoden ved å bruke følgende eksempel.

Anta at et firma kan produsere fem varer, x 1, x 2, ..., x 5, med tre produksjonsfaktorer F 1, F 2, F 3 .

De tilgjengelige mengder faktorer er:

F 1 = 100 enheter arbeidskraft

F 2 = 80 enheter kapital

F 3 = 150 enheter land

De kjente produksjonsmetodene (prosesser eller aktiviteter) for hvert produkt er

Bedriften ønsker å velge produktmiks som maksimerer den totale fortjenesten z. La oss betegne produksjonsnivåene for de fem varene med bokstaven X-bokstaven med passende underskrift.

Med informasjonen ovenfor kan vi formelt oppgi det lineære programmeringsproblemet som følger:

Ved å erstatte teknisk informasjon fra eksempelet vårt:

For å overvinne vanskene som er skapt av ulikhetene i begrensningene, forvandler vi de tekniske begrensningene til likheter ved å introdusere en hver av dem en variabel, kalt 'slakkvariabelen' som vil vise de uutnyttede enhetene til den tilsvarende produksjonsfaktoren. Det er klart det vil være like mange slake variabler som det er produksjonsfaktorer. Det antas at ubenyttede faktorer har null lønnsomhet (verken fortjeneste eller tap).

Med introduksjonen av slakkvariablene blir begrensningene:

en. Den Iterative prosedyren

Iterasjon I:

Vi tar utgangspunkt i hvilken som helst mulig løsning, finner lønnsomheten og vurderer om den gir maksimal fortjeneste sammenlignet med andre gjennomførbare løsninger. Nivåene på produksjonen og av ubrukte faktorer i en løsning danner et grunnlag. Den enkleste måten å begynne iterasjonene er å starte fra det grunnlaget som viser nullproduksjon, det vil si at den inkluderer de tre slakk aktivitetene med verdier som er lik de tilgjengelige mengdene av de tre produksjonsfaktorene, siden uten produksjon er alle faktorene uutnyttet . Dermed er den opprinnelige løsningen (Basis I) opprinnelsen, hvor alle nivåer av utdata er null

X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = X 5 = 0

og alle innspill er arbeidsledige, så det

S 1 = F 1 = 100

5 2 = F 2 = 80

5 3 = F 3 = 150

Dette er en gjennomførbar løsning, fordi alle begrensningene er oppfylt. Det er klart det ikke er optimalt, siden overskuddet er null hvis det ikke er noen produksjon

Z = 2 (0) + 2 (0) + 3 (0) + 4 (0) + 6 (0) 4 0 (S 1 ) + 0 (S 2 ) + 0 (S 3 ) = 0

Før vi fortsetter med å finne en bedre gjennomførbar løsning, vil vi presentere den første løsningen (Basis I) i en tabell (tabell 20.1).

I den første kolonnen viser vi aktivitetene som er inkludert i løsningen (Basis), som blir undersøkt, og bruksnivåene deres. Basis I inkluderer de slakkeaktivitetene S 1, S 2, S 3, og deres utnyttelsesnivå er lik de ubenyttede produksjonsfaktorene, 100 enheter f 1, 80 enheter f 2 og 150 enheter f 3 .

I kolonnene for de fem produktive aktivitetene setter vi inn innspillene til de tre produksjonsfaktorene som er nødvendige for produksjonen av en enhet av de tilsvarende varene.

I kolonnene for slakkaktivitetene setter vi inn enhet for den tilsvarende produksjonsfaktoren, og null for alle andre faktorer.

I den siste raden i tabellen setter vi inn totalfortjeneste (Z) for Basis og enhetsgevinsten til aktivitetene med et negativt tegn. Denne raden (som vi vil kalle 'lønnsomhetsraden') er avgjørende i den iterative prosedyren for simplex-metoden, fordi den viser hvilken som er den mest lønnsomme aktiviteten som bør introduseres i neste iterasjon. Når alle elementene i denne raden blir positive eller null, stopper vi iterasjonene.

Positive elementer i 'lønnsomhetsraden' antyder at innføring av tilsvarende aktiviteter i Basis vil føre til en nedgang i det totale overskuddet. Nullelementer i 'lønnsomhetsraden' (i kolonnene for de produktive aktivitetene A 1, ..., A 5 ) innebærer at det er andre optimale løsninger som gir den samme totale fortjenesten. Når elementene i 'lønnsomhetsraden' (i kolonnene for produktive aktiviteter) enten er positive eller null, stopper vi (vanligvis) iterasjonene siden en optimal løsning er oppnådd.

Iterasjon II:

Vi må finne den innkommende aktiviteten og den utgående aktiviteten, det er aktiviteten som vi må innføre i Basis og den som skal erstattes.

Som innkommende aktivitet velger vi den som har den høyeste enhetsgevinsten, det vil si aktiviteten med det største negative elementet i 'lønnsomhetsraden'. I vårt eksempel er den mest lønnsomme aktiviteten A 5 .

Den utgående aktiviteten blir funnet ved å dele hvert aktivitetsnivå i det første Basis (F 1, F 2 og F 3 i vårt eksempel) med den relevante inngangskoeffisienten for den innkommende aktiviteten, og velge å erstatte aktiviteten til den gamle basis som forholdet er det minste. I vårt eksempel har vi

Det minste forholdet er F 2 / k 5, og den utgående aktiviteten er derfor S 2 . Den nye basis vil omfatte aktivitetene S 1, A 5 og S 3 . Vi erstatter den slakkeaktiviteten som har det minste forholdet, fordi den tilsvarende ressursen vil være den første som blir oppbrukt når vi utvider produksjonen av varen x 5 (produsert av den innkommende aktiviteten).

Neste steg er å finne elementene i den nye iterasjonstabellen.

Følgende trinn er involvert i denne prosessen:

1. Vi definerer pivotelementet, som er elementet i skjæringspunktet mellom innkommende og utgående aktiviteter. I vårt eksempel er dreieelementet 2, i krysset mellom A 5 og S 2 .

2. Vi finner elementene i pivotraden, det vil si raden som vil bli okkupert av den innkommende aktiviteten, og tar stedet for den utgående aktiviteten. Elementene i pivotraden blir funnet ved å dele elementene i den opprinnelige raden (av utgående aktivitet) med pivotelementet (2 i vårt eksempel). Elementene i pivotraden er elementene i den innkommende aktiviteten (A 5 ) i den nye iterasjonstabellen.

I vårt eksempel er elementene i pivotraden:

3. Ethvert annet element i den andre iterasjonstabellen b i blir funnet ved å trekke fra det tilsvarende originale elementet a, (i den første iterasjonstabellen) produktet fra elementet i pivotraden som er i samme kolonne som a, multiplisert med elementet i den innkommende aktiviteten som er i samme rad som et i .

Beregningene er vist i tabell 20.2. De avgjørende dataene som kreves på dette trinnet er elementene i pivotraden (b 10, b 1 1 ..., b 18 ) og elementene i kolonnen for den utgående aktiviteten (a 6 = 2, a 15 = 2, a 24 = 2).

Elementene i den første og den tredje raden i den andre iterasjonstabellen er:

4. Den totale fortjenesten til den nye løsningen ( Zll ) blir funnet ved å multiplisere nivåene på aktivitetene i dette grunnlaget med enhetsfortjenesten

Z II = π 6 (S 1 ) + π 5 (/ A 5 ) + π 8 (S 3 ) = (20) (0) + (40) (6) + (70) (0) = 240

5. Elementene i 'lønnsomhetsraden' estimeres på samme måte som de andre elementene i den andre iterasjonstabellen. Det vil si at fra de første 'lønnsomhetselementene' trekker vi fra produktet fra elementet i pivotraden (som er i samme kolonne som π iI ) ganger 'lønnsomhetselementet' for den innkommende aktiviteten

Vi har nå fullført beregningen av elementene i den andre iterasjonen. Resultatene er vist i tabell 20.3.

S 1 = 20 A 5 = 40 S 3 = 70

Det er klart at den andre Basis er bedre enn den opprinnelige løsningen, siden den gir et samlet overskudd på 240 monetære enheter. Så lenge negative elementer vises i den siste raden i iterasjonstabellen, kan vi imidlertid forbedre løsningen vår ytterligere (øke fortjenesten) ved å introdusere aktiviteten som har det største negative 'lønnsomhetselementet'.

I vårt eksempel er a 2 som produserer varer x 2 den innkommende aktiviteten i den nye løsningen (Basis III). Den utgående aktiviteten bestemmes på samme måte som i forrige iterasjon. Det vil si at vi deler de slakkeaktivitetene i Basis II med de tilsvarende elementene i kolonnen for den innkommende aktiviteten (A 2 ) og vi dropper aktiviteten med det minste forholdet. I vårt eksempel har vi

20/2 = 10 og 70/1 = 70

Siden (20/2) <(70/1) er den utgående aktiviteten ved denne iterasjonen 5, . (Tabell 20.4.)

Før vi fortsetter med beregningene av den tredje iterasjonen, er det nyttig å indikere implikasjonene av simplex-kriteriet. Dette kriteriet tjener til å definere om den optimale løsningen er nådd, eller om en ytterligere forbedring kan oppnås ved ytterligere iterasjoner.

Simplex-kriteriet kan oppsummeres i følgende forslag:

Hvis ett eller flere elementer i 'lønnsomhetsraden' er negative, er ytterligere forbedringer av løsningen mulig, og iterasjonene bør fortsette, med mindre alle elementene i den innkommende aktiviteten er positive eller null. I dette tilfellet kan vi utlede at problemet ikke har noen løsning, eller at det ikke er blitt korrekt oppgitt.

Hvis alle elementene i 'lønnsomhetsraden' er positive eller null, er grunnlaget i denne tabellen en optimal løsning, og ytterligere iterasjoner er (vanligvis) ikke påkrevd. Inkludering i grunnlaget for aktiviteter med positive 'lønnsomhetselementer' reduserer firmaets totale fortjeneste, og følgelig bør slike aktiviteter ikke anses som et middel for å forbedre løsningen.

Hvis noen av de produktive aktivitetene har null 'lønnsomhetselementer' i sluttbordet, er det mer enn en optimal løsning. Hvis vi i Basis innfører en aktivitet med null 'lønnsomhet', påvirkes ikke den totale fortjenesten.

Iterasjon III:

Den siste raden i den andre iterasjonstabellen inneholder negative elementer, og løsningen kan følgelig forbedres. Den innkommende aktiviteten er den som har det største negative 'lønnsomhetselementet' (A 2 i vårt eksempel), og den utgående aktiviteten er S 1 som har det minste forholdet (S 1/2 = nivået på S 1 i Basis II delt med tilsvarende element i kolonnen for den innkommende aktiviteten).

Etter å ha definert innkommende og utgående aktiviteter, gjentar vi beregningene av den andre iterasjonen:

1. Pivotelementet er 2, definert av skjæringspunktet mellom innkommende og utgående aktiviteter.

2. Elementene i 'pivot-raden' er definert av inndelingen av elementene i den utgående aktiviteten i pivot-elementet. De er

20/2 = 10, 0/2 = 0, 2/2 = 1, 0/2 = 0, 1/2, 0/2 = 0, 1/2, -1/2, 0/2 = 0

3. De gjenværende elementene (c i ) i den tredje iterasjonstabellen blir funnet ved å trekke fra de tilsvarende elementene i den andre iterasjonstabellen (b i ) produktet fra elementet i 'pivot row' (som er i samme kolonne som b i ) ganger elementet i den innkommende aktiviteten (som er i samme rad som b i ).

Verdiene av elementene i den tredje iterasjonen er:

4. Det totale overskuddet til Basis III blir funnet ved å legge til produktene til nivåene av aktivitetene som er inkludert i dette grunnlaget, ganger deres tilsvarende enhetsfortjeneste (som gitt i objektivfunksjonen)

Z III = (10) (2) + (40) (6) + (60) (0) = 260

Dette er høyere enn overskuddet fra den forrige løsningen (Z II = 240).

5. Elementene i 'lønnsomhetsraden' i den tredje iterasjonen beregnes som i den andre iterasjonen

Dermed har vi fullført beregningene av elementene i den tredje basis. Resultatene er vist i tabell 20.5.

Ved å bruke forslagene til simplex-kriteriet observerer vi følgende. Alle elementene i den siste raden ('lønnsomhetsrekke') er enten positive eller null. Dette innebærer at denne tabellen inneholder en optimal løsning.

Aktivitetene til dette grunnlaget er:

A 2 = 10 enheter x 2

En 5 - 40 enheter x 5

S 3 = 60 enheter ubenyttet faktor F 3

Den totale fortjenesten til denne optimale løsningen er 260 monetære enheter. Gitt at det er nuller i den siste raden (og i kolonnene for de produktive aktivitetene), slutter vi oss til at løsningen ovenfor ikke er unik. Det vil si at det er andre optimale løsninger (som inkluderer produktive aktiviteter med null 'lønnsomhetselementer'). Disse alternative optimale løsningene gir selvfølgelig den samme totale fortjenesten. Siden vi har funnet en optimal løsning, vil vi ikke fortsette med videre iterasjoner. Imidlertid er det tilfeller der plasseringen av ytterligere optimale løsninger kan være nyttig.

V. Det dobbelte problemet og skyggepriser:

Det grunnleggende problemet hvis løsning forsøkes av den lineære programmeringsteknikken, kalles det primære problemet. For hvert primære problem tilsvarer et dobbelt problem, som gir ytterligere informasjon til beslutningstakeren. Arten av det doble problemet avhenger av det primære problemet. Hvis det primære problemet er et maksimeringsproblem, er det dobbelte et minimeringsproblem. Tilsvarende, hvis det primære er et minimeringsproblem, er det dobbelte et maksimeringsproblem.

Den detaljerte undersøkelsen av det doble problemet er utenfor rammen av denne boken. Vi vil her konsentrere oss om det dobbelte problemet med vårt tidligere eksempel på gevinstmaksimering. Det doble problemet i dette tilfellet er kostnadsminimering, og fra løsningen henter vi skyggeprisene til produksjonsfaktorene som brukes av firmaet.

Det doble problemet kan løses uavhengig av dets primære ved en lignende prosedyre som beskrevet ovenfor. Verdiene oppnådd fra løsningen av dual oppnås imidlertid også som et biprodukt fra den siste iterasjonen av primal, noe som gir den optimale løsningen.

I vårt eksempel er skyggeprisene for de tre produksjonsfaktorene elementene som vises i de tre siste cellene i 'lønnsomhetsraden' i tabell 20.5.) Hvis den optimale løsningen inneholder en slakk aktivitet som viser at noe av den tilsvarende faktoren forblir arbeidsledig, har denne faktoren en skyggepris lik null.

Hvis faktorene er fullt ut ansatt, er skyggeprisene positive. I vårt eksempel viser skyggeprisene for faktorarbeidet (F 1 ) og faktorkapitalen (F 2 ), som er fullt ansatt i den optimale løsningen, henholdsvis positive og lik 1 og 2 monetære enheter. Skyggeprisen for faktorlandet (F 3 ) er null, fordi denne faktoren ikke er fullt utnyttet i den optimale løsningen.

Skyggeprisene for faktorene er de påregnede kostnadene eller mulighetskostnadene for faktorene for det aktuelle firmaet. Som sådan er de avgjørende indikatorer for utvidelse av firmaet. De viser hvilke faktorer som er flaskehalser for den videre utvidelsen av firmaet, siden disse faktorene vil vises med en positiv skyggepris (mulighetskostnad) i den optimale løsningen.

Videre kan skyggeprisene på ressursene sammenlignes med markedsprisene og hjelpe gründeren med å bestemme om det er lønnsomt å ansette flere enheter av disse faktorene. Skyggeprisen for en faktor angir hvor mye overskuddet til firmaet vil bli økt hvis firmaet bruker en ekstra enhet av denne faktoren.

I vårt eksempel ser vi at hvis firmaet leide inn en ekstra enhet arbeidskraft, ville fortjenesten økt med 1 monetær enhet. Tilsvarende, hvis firmaet sysselsatte en ekstra kapitalenhet, ville fortjenesten øke med 2 monetære enheter. Men for å ansette flere enheter av L og / eller k, måtte firmaet betale markedsprisen (lønn eller leie av kapital).

Så hvis skyggeprisen for en faktor er større enn markedsprisen, vil det betale firmaet å øke sysselsettingen av den faktoren, siden firmaets nettoresultat ville øke. Naturligvis er skyggeprisene, hvis verdier er estimert fra den lineære programmeringsteknikken, av stor praktisk betydning for firmaet.

 

Legg Igjen Din Kommentar