4 Bruksområder for differensialkalkulus til optimaliseringsproblemer (med diagram)

Optimaliseringsprosessen krever ofte at vi bestemmer maksimal eller minimum verdi for en funksjon.

For at en funksjon skal være et maksimum (eller minimum) er dens første derivat null. Derivat av en funksjon måler helningen.

Derfor skjer maksimalisering av en funksjon der derivatet er lik null. Dermed er et viktig optimaliseringsproblem som en virksomhetsleder står overfor å produsere et nivå på produksjonen som maksimerer firmaets fortjeneste. Tilsvarende krever optimal bruk av ressurser at kostnadene minimeres for å produsere et gitt nivå på produksjonen. Disse problemene med maksimalisering og minimering kan løses ved bruk av begrepet derivat.

1. Bruk i fortjenestemaksimering :

Vurder for eksempel følgende gevinstfunksjon:

π = -100+ 160Q-10Q2

Hvor π = fortjeneste og Q er outputenheter

For at profitt (π) -funksjonen skal være maksimal, må dens første derivat være lik null.

For å finne det fortjenestemaksimerende nivået på produksjonen finner vi derfor derivatet til de gitte profittfunksjonene og setter det lik null. Og dermed

Ved 8 enheter med utbytte vil maksimalt være. Maksimering av fortjeneste ved bruk av derivat er grafisk vist i figur 5.9. Det vil sees at gevinstmaksimeringskurven når sitt maksimale punkt ved punkt H. Derfor, på punkt H, er helningen på tangenten (som måler verdien av derivat dπ / dQ) trukket til fortjenestekurven på dette punktet lik null .

Det vil sees at tilsvarende maksimalt fortjenestepunkt H på resultatfunksjonsnivået for produksjonen er 8 enheter.

Totalt overskudd oppnådd ved 8 produksjonsenheter kan oppnås ved å erstatte 8 med Q i den gitte profittfunksjonen. Og dermed

π = - 100 + 160 x 8 - 10 (8) 2

= 1280 - 740 = 540

Dermed er resultatet på 8 enheter overskuddet lik 540.

Grafisk analyse kan ikke lett fortelle oss nøyaktig på hvilket nivå av produksjon, fortjenesten vil være maksimal, for det tar tid å tegne en graf og konkludere med den. Imidlertid er det lettere å bruke differensialkalkulus for å finne den gevinstmaksimerende produksjonen. For dette finner vi ganske enkelt det første derivatet av profittfunksjonen og setter den lik null.

2. Vilkår for annen derivat og andre ordre for optimalisering :

Et problem oppstår når vi bruker det første derivatet av en funksjon for å bestemme dens maksimale eller minste verdi. For å sette det første derivatet av en funksjon lik null og løse den resulterende ligningen for den optimale verdien av den uavhengige variabelen garanterer ikke at optimal verdi (maksimalt eller minimum som tilfellet måtte være) faktisk oppnådde. For den optimale verdien er det første derivatet lik null en nødvendig betingelse for maksimalt eller minimum, men det er ikke en tilstrekkelig betingelse. For eksempel, i en profittfunksjon, er det første derivatet lik null, både det på maksimale og minimale gevinstnivåer.

For å sikre at derivatet er null på fortjenestemaksimeringsnivået til beslutningsvariabelen (dvs. produksjon i det aktuelle tilfellet), må vi bruke betingelsen for andre ordre. I henhold til den andre ordensbetingelsen, for gevinstmaksimering, må det andre derivatet av gevinstfunksjonen være negativt, det vil si d2π / dQ2 <0. Hvis optimering krever maksimalisering av funksjonen, si = y (f), andre derivat, som er skrevet som d2y / dx2, må være negativt.

Det skal bemerkes at det andre derivatet av en funksjon oppnås ved å differensiere det første derivatet med hensyn til den uavhengige variabelen. I tilfelle optimalisering krever minimering av en funksjon som i tilfelle minimering av kostnader for å produsere et gitt outputnivå, må det andre derivatet være positivt, det vil si d2y / dx2> 0.

Vurder igjen tilfelle av gevinstmaksimering som er beskrevet ovenfor. En gevinstfunksjonskurve som den som er tegnet i figur 5.10 kan ha både minimumspoeng og maksimalpoeng. Det fremgår av figur 5.10 at punkt L representerer minimumspunktet og H representerer det maksimale punktet for gevinstkurven. Viktig å merke seg er at både minimumspunktet L og maksimumspunkt H, førsteordensbetingelse, det vil si første deriverte dπ / dQ være null, er tilfredsstilt på begge punktene, L og H, tilsvarende OQ 1 og OQ 2 nivåer .

Imidlertid er fortjenesten på punkt L minimum, og ved H-punktet er fortjenesten maksimal. Det er ved hjelp av det andre derivatet av en funksjon at vi kan skille mellom maksimum og minimum langs en funksjon. Mens det første derivatet måler helningen til en funksjon, måler det andre derivatet skråningen til det første derivatet. I tilfelle av profittfunksjon, mens første derivat, måler dπ / dQ helningen på profittfunksjonskurven. Det vil si marginal fortjeneste, dets andre derivat, d2π / dQ2 måler helningen av den marginale overskuddsfunksjonskurven.

Siden det andre derivatet av en funksjon når det blir målt på maksimaliseringsnivået alltid er negativt, og når det måles på minimeringsnivået alltid er positivt, kan det brukes til å skille mellom punkter med maksimum og minimum. For eksempel, hvis det andre derivatet i vår profittfunksjonskurve er negativt, innebærer det at fortjenesten er maksimal på det nivået der det første derivatet er lik null.

På den annen side, hvis det andre derivatet på et punkt på en profittfunksjon hvor det første derivatet er null, er positivt, viser det at overskuddet faktisk er minimum snarere enn maksimum. Det er lett kjent fra å se på figur 5.10. Det vil sees fra dette tallet at opp til punkt L, marginell fortjeneste (dπ / dQ), det vil si en helning av den totale gevinstkurven, er negativ og har fått den totale fortjenesten til å falle (faktisk opp til L, pga. til negativ marginal fortjeneste har mistet seg. På punkt L, marginal fortjeneste I og deretter blir den positiv, og derfor vil det føre til at den totale fortjenesten øker.

Punkt L utover hvilket det andre derivat (dvs. helningen til det første derivatet) er positivt, og siden fortjenesten vil øke utover dette punktet, kan det ikke være poenget med maksimal fortjeneste.

Vurder nå punkt H på det totale overskuddet som tilsvarer produksjonsnivået OQ 2 . Ved punkt H er første derivat (dπ / dQ) igjen lik null, men etter det blir marginale overskudd dπ / dQ negativt, da helningen av den totale gevinstkurven er negativ når produksjonen utvides utover Q 2 . Dette får den totale fortjenesten til å falle. Dette viser at punkt H hvor første derivat, dπ / dQ er null, og også utover hvilket andre derivat (d2π / dQ2), det vil si at helling av det første derivatet blir negativt, faktisk er poenget med maksimal fortjeneste.

For å konkludere, får vi en følgende generell test for maksimum og minimum:

(1) Hvis det andre derivatet d2y / dx2 av en funksjon er negativt (<0) på det punktet der det første derivatet (dy / dx) er null, vil det representere et maksimumspunkt.

(2) Hvis det andre derivatet (d2y / dx2) av en funksjon er positivt (> 0) på det punktet der det første derivatet er null, vil det representere et minimumspunkt.

Når vi kommer tilbake til profittfunksjonen vår (π = - 100 + 160 Q - 10 Q2), i så fall det første derivatet er null ved 8 enheter for utdata, tester vi for tegnet på andre derivat. Og dermed,

dπ / dQ = 160 - 20Q

d2π / d2Q = -20.

Dermed finner vi at ved åtte enheter av produksjonsgevinsten faktisk vil være maksimal.

3. Minimeringsproblem :

I noen beslutningsprosesser er målet for en leder å minimere objektivfunksjonen. For eksempel krever effektivitet i bruken av ressurser at et firma skal produsere til minst mulig kostnad per enhet.

For eksempel er følgende gjennomsnittlige kostnadsfunksjon for et firma gitt:

AC = 25.000 - 180Q + 0.50Q2

En leder er interessert i å finne hvilket produksjonsnivå firmaet vil minimere de gjennomsnittlige kostnadene. Dette kan oppnås ved å differensiere AC-funksjonen med hensyn til utgang (Q) og stille den lik null, Dermed

d (AC) / dQ = - 180 + 1, 0Q

Setter det lik null og løser for Q har vi:

-180 +1, 0 Q = 0

Q = 180

Ved å bruke betingelsen for andre ordre for å sikre om det virkelig er minimum tar vi det andre derivatet av AC-funksjon

d2 (AC) / dQ2 = + 1, 0

Siden det andre derivatet av AC-funksjon er positivt, d2 (AC) / dQ2> 0, er output på 180 enheter output en som minimerer gjennomsnittlige produksjonskostnader.

4. Multivariat optimalisering :

Når en avhengig variabel er en funksjon av mange uavhengige variabler bruker vi begrepet et delvis derivat. Partielle derivater brukes derfor for å finne optimal løsning på maksimerings- eller minimeringsproblem i tilfelle to eller flere uavhengige variabler. Regler for å finne problemer med maksimalisering og minimering er de samme som beskrevet ovenfor i tilfelle av en uavhengig variabel. For å maksimere eller minimere en multivariat-funksjon setter vi delvise derivat med hensyn til hver uavhengige variabel lik null og løser det resulterende settet av samtidige ligninger.

Tenk på at et firma produserer to produkter X og Y. Profittfunksjonen kan være skrevet som

π = f (X, Y).

Vurder et firma som produserer de to produktene hvis funksjon er gitt nedenfor

π = 50X -2X2 –XY-4Y2 + 75Y

Hvor X og Y er to uavhengige variabler som representerer nivåene på utgangene til to produkter. Det er å bestemme hvilke produksjonsnivåer for de to produktene som vil maksimere fortjenesten.

Å differensiere profittfunksjonen med hensyn til X mens du holder Y konstant vi har

dπ / dX = 50 - 4X - Y

Å differensiere profittfunksjonen med hensyn til y mens vi holder X konstant

dπ / dY = - X - 8Y + 75

For å maksimere fortjenesten må vi stille hvert delvise derivat lik null og deretter løse det resulterende settet av samtidige ligninger for optimale verdier av uavhengige variabler x og Y. Dermed

∂π / dX = 50 - 4X- y = 0 .... (i)

∂π / dy = 75 - X - 8y = 0 .... (ii)

For å løse de ovennevnte to ligningene samtidig multipliserer vi ligning (i) med - 8 og legger til (i) og (ii) vi har

Dermed vil firmaet maksimere overskuddet av det produserer og selge 10, 45 enheter av produkt X og 8, 2 enheter av produkt Y1.

 

Legg Igjen Din Kommentar