Topp 11 eksempler for å illustrere teorien om produksjon

Liste over de elleve eksemplene som illustrerer teorien om produksjon.

Eksempel 1

Anta at et produkt krever to innganger for produksjonen. Da er det riktig å si at hvis prisene på de to innspillene er like, krever optimal oppførsel fra produsentens side at disse innspillene brukes i like store mengder?

Løsning.

Det er ikke riktig å si at hvis prisene på de to inngangene er like, så bør disse innspillene brukes i like store mengder, bortsett fra i ett tilfelle. Vi kan forklare følgende. La oss anta at produksjonsfunksjonen til firmaet er

q = f (x, y) ………. (1)

der symbolene har sine vanlige betydninger. Hvis prisene på de to inngangene er r X og r Y, og hvis de er like, vil helningen på firmaets isokostnadslinjer være –r X / r Y = -1. Derfor, på det optimale punktet for begrenset utgangsmaksimering eller kostnadsminimering, dvs. ved punktet mellom tangensen mellom en isoquant og en isokostnadslinje, bør isoquantens helning også være lik —1.

Hvis firmaet skal bruke like mengder av de to inngangene, bør vi på tangenspunktet ha x = y. Med andre ord, på poenget med tangens bør vi ha det

dvs. at isokvantene til firmaet skal være rektangulære hyperboler.

Vi kan derfor konkludere med at den gitte uttalelsen er sann, dvs. at firmaet bør bruke de to innspillene (med like priser) i like store mengder hvis firmaets produksjonsfunksjon gir opphav til rektangulære hyperbola-isoquants, ellers er den gitte uttalelsen ikke riktig.

Eksempel 2

Hvis produksjonsfunksjonen er Q = K + L, og prisene på kapital og arbeidskraft er henholdsvis Rs 2 og Re 1, hvordan vil ekspansjonsveien se ut?

Løsning.

Produksjonsfunksjonen til firmaet er

Q = K + L ……… .. (1)

Derfor er likningen av isokvanten for Q = Q ° = konstant

Q ° = K + L ………… (2)

eller, K = Q ° - L ……… .. (2a)

Det fremgår av ligning (2a) at isokvantene her er parallelle rette linjer med skråning:

For alle kostnadsnivåer, C °, er likningen av isokostnadslinjen (ICL) derimot

(3) og (5) gir oss at den numeriske helningen til ICL-ene (= 1/2) er mindre enn for IQ-ene (= 1), dvs. at IQ-ene er brattere enn ICL-ene (fig. 8.29). Derfor vil firmaets utgangsmaksimerende likevekt underlagt kostnadsbegrensning forekomme ved hjørnepunktene til ICL-ene, som B1, B2, etc. på den horisontale aksen på fig. 8.29. Derfor vil den horisontale aksen (for L ≥ 0) være firmaets utvidelsesbane.

Eksempel 3

Et firma bruker to innganger X og Y for å produsere utgangen. Produksjonsfunksjonen til firmaet er q = f (x, y) = xy, og markedsprisene for de to innspillene er henholdsvis Rs 20 og Rs 10. Finn inngangskombinasjonen firmaet bør bruke for å oppnå maksimal mulig produksjon ved hjelp av en utgift på Rs 2000, og finn også hva som vil være den maksimale mulige effekten.

Løsning.

Produksjonsfunksjonen til firmaet er

q = f (x, y) = xy ………. (1)

og kostnadsbegrensningen er

C ° = r X x + r Y y

eller, 2000 = 20x + 10y ……… .. (2)

Her er den relevante Lagrange-funksjonen for å få den nødvendige inngangskombinasjonen

V = xy + λ (2000-20x-10y) …………. (3)

hvor λ er Lagrange-multiplikatoren.

Nå er førsteordens betingelser for begrenset utgangsmaksimering

Når du setter denne verdien på y (6), får vi

40 x = 2000 => x = 50 enheter

og å sette verdien på x i (7), får vi

y = 2 x 50 = 100 enheter.

Derfor gir FOC-ene oss at firmaet må bruke inngangskombinasjonen (x = 50 enheter, y = 100 enheter) for å produsere maksimalt mulig output, og sette verdiene til x og y i produksjonsfunksjonen (1 ), oppnår vi den maksimale mengden utdata som er q = 50 x 100 = 5000 (enheter), kan vi også bekrefte andreordens tilstand gitt av

f xx f2 y _ 2f xy f x f y + f yy f2 x <0 ………… .. (8)

ved å sette verdiene f x = y, f y = x, f xx = 0, f yy = 0 og f xy = f yx = 1 i (8), får vi: venstre side av (8) = - 2xy 0 og y = 100> 0). Derfor verifiseres SOC også.

Eksempel 4

Hvis produksjonsfunksjonen til firmaet er q = (x + 2) (y + 1) og prisene på inngangene er p x = Rs 10 og p Y = Rs 5, finner du den laveste kostnadskombinasjonen for å produsere 200 enheter av output og finn verdiene til mengden minimumskostnad.

Løsning.

Vi får produksjonsfunksjonen til firmaet å være

q = (x + 2) (y + 1) …………. (1)

Siden firmaet vil måtte produsere faste 200 enheter med utgang, vil utgangsbegrensningen være:

q ° = (x + 2) (y + 1)

eller, 200 = (x + 2) (y + 1) ……………. (2)

Siden p X = Rs 10 og p Y = Rs 5, er firmaets kostnadsligning

C = 10x + 5y ………… .. (3)

hvor C står for ethvert beløp som skal brukes på de to varene.

Nå er den relevante Lagrange-funksjonen for begrenset kostnadsminimering

Z = 10x + 5y + μ [200- (x + 2) (y + 1)] ………… .. (4)

Derfor er førsteordensbetingelser (FOC) for minimumskostnader

Eksempel 5

Et firma som produserer X fra faktor A og B kan bruke en av de to produksjonsprosessene.

Produksjonsfunksjonene er:

Prosess I:

X = a A.25 B.75

Prosess II:

X = A.75 B.25

Prisen på A er Re 1. La prisen på B være P.

(i) Til hvilken pris av B vil firmaet være likegyldig mellom de to prosessene?

(ii) Hvis prisen på B er høyere enn beregnet i (i), hvilken prosess vil firmaet bruke?

Løsning:

(i) Fra den gitte informasjonen kan vi skrive kostnadsligningen til firmaet som

Hvis firmaet skal være likegyldig mellom de to prosessene, skal output for, for et gitt kostnadsnivå C 0, dvs. verdiene til X i de to prosessene gitt av (11) og (18) være like, dvs. vi burde ha

dvs. vi bør ha prisen på inngang B som P = a2.

(ii) (19) og (20) gir oss at for P = a2 oppnår vi likhet (19). Hvis P nå blir større enn a2, ville faktor P 75 i nevneren til venstre side (LHS) på (19) øke med en større andel enn faktoren P25 i nevneren til høyre side (RHS) til (19). Følgelig vil LHS for (19) eller output i prosess I bli mindre enn RHS for (19) eller output i prosess II, og derfor ville nå prosess II bli foretrukket.

Eksempel 6

Et firma kan bruke to produksjonsprosesser Q c = K1 / 3 C L2 / 3 C og Q D = K1 / 2 D L1 / 2 D for å produsere en utgang. Den totale mengden kapital (K) og arbeidskraft (L) som den kan bruke er henholdsvis A og B. Hvordan inngangene skal fordeles mellom de to prosessene slik at den totale utgangen Q = Q C + Q D maksimeres?

Løsning.

De to produksjonsprosessene som firmaet kan bruke er

(11) gir oss at for å maksimere Q, skal K og L fordeles mellom de to prosessene på en slik måte at forholdet mellom KC og KD, skal være lik 1/2 av forholdet mellom LC og L D (forutsatt at andreordens betingelse for begrenset utgangsmaksimering er oppfylt).

La oss anta det

Eqns (14) og (15) gir oss mengden av K og L som skal brukes i de to prosessene gitt m = K C / K D og 2m = L C / L D.

Det kan bemerkes her at vi ikke har noen unik løsning med hensyn til fordelingen av K og L mellom de to prosessene (gitt vilkårligheten av verdien til m). Men løsningen til enhver verdi av m må tilfredsstille (11).

Eksempel 7

En håndverker bruker den første delen av hverdagen på å skjerpe verktøyene sine og den andre delen på å jobbe med disse verktøyene. Hans totale effekt er Y = X1 / 4 1 X3 / 4 2 der X 1 og X 2 angir antall timer som er viet til henholdsvis skjerping og bruk av verktøy, [X] + X 2 er fast]. Hva er den effektive måten for ham å dele tiden mellom disse to aktivitetene på.

Løsning.

Produksjonsfunksjonen er gitt å være

Y = X1 / 4 1 X3 / 4 2 = f (X 1, X 2 ), ………… .. (1)

hvor X 1 = antall timer som er viet til å skjerpe verktøyene sine = konstant og

X 2 = antall timer brukt til å bruke disse verktøyene = konstant

og Y = mengde produsert produksjon per periode.

La oss anta at det totale antall tilgjengelige timer per dag er T = konstant.

Derfor ville håndverkeren måtte maksimere Y i (1) underlagt begrensningen

T = X 1 + X 2 ………… .. (2)

Nå er den relevante Lagrange-funksjonen her

Tilstand (7) er den første ordren eller nødvendig betingelse for begrenset utgangsmaksimering. Det viser oss at den effektive måten for håndverkeren å dele tiden sin mellom de to aktivitetene på er å bruke tre ganger så mye tid på å jobbe med verktøyene sine som å skjerpe dem.

La oss nå se om annenordens eller tilstrekkelig betingelse er oppfylt på det punktet der førsteordensbetingelsen er oppfylt. SOC er gitt av

Eksempel 8

Hvis det marginale produktet til L er MP L = 100 K - L og det marginale produktet til K er MP K = 100 L - K, finner du den maksimale mulige effekten når det totale beløpet som kan brukes på L og K er $ 1000, og prisen på L (P L ) er $ 2 og prisen for K (P K ) er $ 5 med eventuelle kommentarer.

Løsning.

La oss anta at produksjonsfunksjonen er

Derfor er SOC fornøyd, og slik er output-maksimerende mengder av inngangene

L = 247, 5 (enheter) og K = 101, 0 (enheter).

Nå kan maksimal ytelse oppnås her som totalprodukt av arbeidskraft (TP L ) ved L = 247, 5, K forblir fast på K = 101, 0, eller, det kan oppnås som totalprodukt av kapital (TP K ) ved K = 101, 0, L forblir fast på L = 247, 5.

I det første tilfellet, MP L (= f L ) -funksjonen må integreres over intervallet 0 og 247, 5 enheter av L, og i det andre tilfellet MP K (= f K ) -funksjonen må integreres over intervallet 0 og 101, 0 enheter av K. La oss fortsette med det første kurset og oppnå mengden maksimal effekt på følgende måte.

kommentarer:

For å oppnå maksimal effekt kan vi like godt integrere MP K- funksjonen over intervallet 0 og 101.

Selv om i begge tilfeller (med integrasjon av MP L- funksjonen og MP-funksjonen), ville den (maksimale) utgangsmengde oppnås ved L = 247, 5 og K = 101, ville resultatene være forskjellige (kan være av en relativt i liten grad) fordi arbeid i første omgang blir behandlet som en variabel innsats og kapital som en fast inngang, og i det andre tilfellet kapital blir behandlet som en variabel innsats og arbeid som en fast innsats.

Eksempel 9

En gründer bruker en inngang for å produsere to utganger underlagt produksjonsrelasjonen x = A (q 1 α + q 1 β) der α, β> 1. Han kjøper inngangene og selger utgangene til faste priser. Uttrykk resultatene som maksimerer gevinsten som funksjoner av prisene. Bevis at hans produksjonsrelasjon er strengt konveks for q b q 2 > 0.

Løsning.

Produksjonsforholdet til firmaet er gitt å være

Eksempel 10

(a) Produksjonsfunksjonen er X = AKα Lβ, der α + β <1. Vis at det er synkende avkastning på skalaen og bevis at totalproduktet er større enn K ganger marginalt produkt av K pluss L ganger marginalt produkt av L, hvor K og L er mengdene av henholdsvis faktorene K (kapital) og L (arbeidskraft).

(b) Anta at en produksjonsfunksjon, X = f (K, L), viser konstant retur til skala. Hvis den marginale produktiviteten til arbeidskraft (L) er større enn den gjennomsnittlige produktiviteten, er den marginale produktiviteten til kapital (K) negativ.

(c) Bevis at elastisiteten til faktorsubstitusjon er enhet for Cobb-Douglas-teknologien. Er antakelsen om konstant avkastning nødvendig for ditt bevis.

Løsning.

(a) Produksjonsfunksjonen er

X = AKαLβ ………. (1)

hvor α + β <1 ………. (2)

Hvis vi her øker både inngangen K og L, t ganger, hvor t er et positivt reelt tall, oppnås output for å være

Det vil si at her, hvis inngangene økes med en viss andel, øker produksjonen mindre enn proporsjonalt. Så her har vi synkende skalaer.

Igjen er K ganger MP K pluss L ganger MP L er

Siden vi har bevist σ = 1 når det gjelder Cobb-Douglas-teknologi, har vi ikke trengt forbeholdet α + β = 1, men antakelse om CRS er ikke nødvendig for dette beviset.

Eksempel 11

Følgende informasjon er gitt for et firma som produserer en enkelt utgang (X) ved å bruke to innganger, kapital (K) og arbeidskraft (L). Én enhet L kan øke produksjonen med 200 enheter, mens en enhet av K kunne øke produksjonen med 150 enheter. Dessuten er P K = R 25, 00 og P L = R 10, 00. Bruker firmaet det optimale inputbuntet for sin nåværende utgang? Hvis ikke, hva ville være den optimale endringsretningen?

Løsning.

Vi er gitt her

MP L = 200 (enheter), MP K = 150 (enheter), P L = 10 (Rs) og P K = 25 (Rs).

Nå, som vi vet, er førsteordens betingelse for optimal inngangspakke

hvor MP L / P L = marginalt produkt (MP) av penger brukt på arbeidskraft

og MP K / P K = marginalt produkt av penger brukt på kapital.

Men her på det spesielle inngangspartiet med MP L = 200 og MP K = 150, har vi det

MP L / P L = 200/10 = 20 og

MP K / P K = 150/25 = 6

Det vil si at her har vi MP L / P L > MP K / P K, eller MP-mannen til penger som er brukt på arbeidskraft er større enn MP-verdien av penger brukt på kapital, og derfor er her betingelsen (1) for optimal input-pakken er ikke fornøyd. Derfor bruker ikke firmaet den optimale inputbunten.

Siden MP penger brukt på arbeidskraft er større enn MP på penger brukt på kapital, bør firmaet bruke mer på arbeidskraft og mindre på kapital til de to parlamentsmedlemmer blir like. Dette er den optimale retningen for endring.

 

Legg Igjen Din Kommentar