Funksjoner av optimalisering (6 funksjoner med diagram)

1. Optimalisering i ledelsesmessige beslutninger:

Bedriftsøkonomi er opptatt av beslutningstaking fra ledere av et firma.

Ledere av et firma må ta beslutninger om produksjonsnivået til et produkt som skal produseres, prisen for et produkt som skal belastes, størrelsen på salgsstyrken som skal engasjeres, teknikken som skal brukes til produksjonen, nivået av annonseringsutgifter som skal påløpe og mange andre slike ting.

I forretningsavgjørelser er det å gjøre et stort antall alternativer åpne for en leder som han må ta et valg fra.

Det er klart at en leder vil prøve å ta et best valg mellom forskjellige alternativer som er tilgjengelige for ham. Et best eller optimalt valg er det som best oppnår det ønskede målet eller målet for firmaet. For eksempel kan en leder vurdere hvilket nivå av output for et produkt han skal produsere.

Manager vil produsere nivået på produksjonen som maksimerer firmaets fortjeneste hvis han har satt seg målet om gevinstmaksimering. Dette er et maksimeringsproblem som han må løse. Tilsvarende vurderer han kanskje å velge mellom de forskjellige kombinasjonene av faktorer eller innganger som kan brukes til å produsere et nivå på produksjonen.

For å maksimere fortjenesten vil han velge kombinasjonen av innganger som minimerer kostnadene for å produsere et gitt nivå på produksjonen. Det er åpenbart at dette er et minimeringsproblem som han må løse.

Beslutningsprosesser som innebærer løsning av maksimaliserings- og minimeringsproblemer kalles optimalisering. Derfor, for å ta en effektiv beslutning, er det nødvendig for en vellykket leder å lære seg teknikkene for optimalisering. Det kan imidlertid bemerkes at populære teknikker for optimalisering har matematisk karakter. I løpet av det siste året har bruken av analytiske modeller for beslutninger om virksomheten økt viktigheten av kunnskapen om teknikker for optimalisering for studentene i bedriftsledelse.

Matematiske formuleringer av disse analytiske modellene for ledelsesmessige beslutninger blir uttrykt i form av funksjoner som beskriver økonomisk sammenheng mellom ulike variabler.

Derfor vil vi til å begynne med forklare konseptet med en funksjon og dens forskjellige viktige typer.

2. Funksjoner :

En funksjon beskriver forholdet mellom to eller flere enn to variabler. Det vil si at en funksjon uttrykker avhengighet av en variabel av en eller flere andre variabler. Så hvis verdien til en variabel Y avhenger av en annen variabel X, kan det hende vi skriver

Y = ƒ (X) (1)

Hvor ƒ står for funksjon.

Dette uttrykket (1) leses som 'Y er funksjon av X'. Dette innebærer at hver verdi av variabelen Y bestemmes av en unik verdi av variabelen X. I funksjonen (1) er Y kjent som den avhengige variabelen og X er den uavhengige variabelen. I funksjon (1) kalles altså Y den avhengige variabelen, og dens verdi avhenger av verdien av X.

Videre tolkes den uavhengige variabelen som årsaken og den avhengige variabelen som effekten. En viktig funksjon som er mye brukt i økonomien er en etterspørselsfunksjon som uttrykker mengde som etterspørres av en vare, er en funksjon av dens pris, mens andre faktorer holdes konstante. Dermed blir etterspørselen etter en vare X beskrevet som under

D x = ƒ (P x )

Hvor D x er mengden som etterspørres av vare X og P x er prisen.

Tilsvarende er forsyningsfunksjonen til en vare X uttrykt som

S x = ƒ (P x )

Når verdien til variabelen Y avhenger av mer enn to variabler X 1, X 2 ……………………………… X n denne funksjonen er skrevet i generell form som:

Y = ƒ (X 1, X 2, X 3, X 4 ……………………………………………… X n )

Dette viser variabelen Y avhenger av flere uavhengige variabler X 1, X 2, ……………………………. X n

hvor n er antall uavhengige variabler. Legg igjen merke til at i økonomi skriver vi 'årsaker' som de uavhengige variablene og 'virkning1 som den avhengige variabelen.

For eksempel anses etterspørsel etter et produkt å være en funksjon av egen pris, priser på andre varer (som kan erstatte eller komplettere), inntekt fra forbrukere, forbrukers smak og preferanser og annonseutgifter gjort av et firma å markedsføre sitt produkt. Og dermed,

D x = ƒ (P x, P y, M, T, A)

Hvor

D x = etterspørsel etter varen X

P x = prisen på varen X.

P y = pris på et erstatningsprodukt Y.

M = inntekt for forbrukerne

T = smak og preferanser hos forbrukeren for produktet.

A = annonseutgifter som firmaet har pådratt seg.

Den nøyaktige arten av forholdet til avhengig variabel og de uavhengige variablene kan være kjent fra den spesifikke formen for funksjonen. Den spesifikke formen for en funksjon kan ha en rekke matematiske former.

Vi forklarer noen spesifikke typer funksjoner nedenfor:

1. Lineære og kraftfunksjoner:

En mye brukt matematisk form for en funksjon er en lineær funksjon.

En lineær funksjon kan angis i følgende generelle form:

Y = a + bX

Hvor a og b er positive konstanter og kalles parametere for funksjonen. Merk at parametere for en funksjon er variabler som er faste og gitt i en spesifikk funksjon. Verdiene til konstanter a og b bestemmer den spesifikke arten av en lineær funksjon. Den lineære etterspørselsfunksjonen med pris som den eneste uavhengige variabelen er skrevet som

Q d = a-bP

Minustegnet før koeffisient b indikerer at mengden som etterspørres av en vare er negativt relatert til prisen på varen. Det vil si at hvis prisen på en vare faller, øker mengden etterspørsel og omvendt. Hvis a er lik 7 og b er lik 0, 5, kan den lineære etterspørselsfunksjonen uttrykkes i følgende spesifikke form:

Q d = 7 - 0, 5 P

Ovennevnte spesifikke etterspørselsfunksjon viser at et enhetsfall i pris varen vil forårsake o.5 enheter øker i mengde kravene til varen. Hvis prisen (P) er null, faller den andre termin (0.5P) i kravfunksjonene ut mengden etterspørsel er lik 7.

Vi kan ta forskjellige verdier av P og finne ut forskjellige mengder (Q d ) av en vare som kreves av dem. I figur 3.1 har vi tegnet disse pris-mengdekombinasjonene på en graf og har oppnådd etterspørselskurve DD for varen som representerer den gitte etterspørselsfunksjonen (Qd = 7 - 0.5P)

Det skal bemerkes at i motsetning til matematisk praksis, ved konvensjon i økonomi for å representere etterspørselsfunksjon, viser vi den uavhengige variabelen (pris i ovennevnte tilfelle av etterspørselfunksjon) på y-aksen og den avhengige variabelen (mengden etterspurt i nåtiden sak) på x-aksen. Graf over lineær etterspørselsfunksjon er vist i figur 3.1. Det er verdt å merke seg at helningen på etterspørselfunksjonskurven i figur 3.1 vil representere ∆P / ∆P. Imidlertid, hvis vi representerer mengden etterspurt (Q d ) på y-aksen, og pris (P x ) på x-aksen, vil helningen på den etterspurte etterspørselskurven være lik ∆Q / ∆P.

2. Multivariat lineær etterspørselsfunksjon:

Lineær etterspørselsfunksjon med mer enn én uavhengige variabler, kan skrives på følgende måte:

Q x = a + b 1 Px + b 2 P y + b 3 M + b 4 T + b 5 A

Hvor b 1, b 2, b 3, b 4 er koeffisientene til de respektive variablene. I økonomi er effekten av andre variabler enn egen pris på en vare i etterspørselfunksjonen avbildet av forskyvninger i etterspørselskurven. For eksempel når inntekten (M) til forbrukerne øker forbrukerne vil kreve mer av produktet X til en gitt pris. Dette innebærer forskyvning av etterspørselskurven til høyre.

Den lineære multivariate funksjonen er skrevet i følgende form:

Y = 4 - 0, 4X 1 + 0, 2X 2 + O, 3X 3 + 0. 5 X 4

I denne funksjonen viser koeffisientene 0, 4, 0, 2, 0, 3 og 0, 5 den nøyaktige virkningen av de uavhengige variablene X 1, X 2, X 3, X 4 på den avhengige variabelen Y.

3. Kraftfunksjoner :

De lineære funksjonene som er nevnt ovenfor er kjent som førstegradsfunksjoner der de uavhengige variablene X 1, X 2, X 3 osv. Bare heves til den første kraften. Vi henvender oss nå til å forklare strømfunksjoner. I økonomi brukes kraftfunksjoner av kvadratiske og kubiske former i stor utstrekning.

4. Kvadratiske funksjoner:

I kvadratisk funksjon er en eller flere av de uavhengige variablene kvadratisk, det vil si hevet til den andre kraften. Merk at strøm også blir referert til som eksponent. En kvadratisk funksjon kan skrives som

Y = a + bX + cX2

Dette innebærer at verdien av den avhengige variabelen Y avhenger av konstanten a pluss koeffisienten b ganger verdien av den uavhengige variabelen X pluss koeffisienten c ganger kvadratet til variabelen X. Anta at a = 4, b = 3 og c = 2 deretter har kvadratisk funksjon følgende spesifikke form.

Y = 4 + 3X + 2 X2

Vi kan få de forskjellige verdiene til Y for å ta forskjellige verdier av den uavhengige variabelen X.

Kvadratiske funksjoner er av to typer:

Konvekse kvadratiske funksjoner og konkave kvadratiske funksjoner. Formen for kvadratisk funksjon avhenger av tegnet på koeffisienten c til X2. Den kvadratiske funksjonen, Y = a + bX + cX2, der koeffisienten c til X2 er positiv (dvs. c> 0) kalles konveks kvadratisk funksjon, fordi grafen er U-formet som vist i figur 3.2. På den annen side, hvis koeffisienten til X2 er negativ (c <0), det vil si når Y = a + bX- cX2, så har vi konkav kvadratisk funksjon fordi grafene er av omvendt U-form (dvs. omformet) som vist i figur 3.3.

Det er verdt å merke seg at skråningen av kurven for konvekse kvadratiske funksjoner, som det fremgår av U-formet graf i dette tilfellet hvor koeffisienten til X2 er positiv, hellingen øker overalt. På den annen side, i tilfelle av konkav kvadratisk funksjon der X2-koeffisienten er negativ (c <O), faller helningen av grafen overalt.

Det skal videre bemerkes at i analytisk geometri er det bevist at graf over en hvilken som helst kvadratisk funksjon er en parabola som kan være konveks eller konkave. En parabola er en kurve som har et vendepunkt, og i motsetning til kurven for en lineær funksjon, endres helningen ved forskjellige verdier av X.

5. Multivariabel kvadratisk funksjon:

Når det er mer enn en uavhengig variabel som X 1, X 2, og de har et kvadratisk forhold til den avhengige variabelen Y, kalles en slik funksjon multivariabel kvadratisk funksjon.

I tilfelle av to uavhengige variabler X 1 og X 2 kan en slik funksjon uttrykkes som under:

Y = a + bX 1 - cX2 1 + dX 2 - eX 2 2

Hvis en slik funksjon er grafisk vist, vil den bli representert av en tredimensjonal overflate og ikke en todimensjonal kurve.

6. Kubisk funksjon:

En kubikkfunksjon er kraftfunksjonen der det er en tredje graders begrep knyttet til en uavhengig variabel. Dermed kan kubiske funksjoner ha første grad, andre grad og tredje grad.

En kubikkfunksjon kan ha følgende skjema:

Y = a + bX + cX2 + dX3

a er avskjæringsbegrep, den avhengige variabelen X har første grad, andre grad og tredje grad. Når tegnene på alle koeffisientene a, b, c og d er positive, vil verdiene til V øke med gradvis større trinn etter hvert som verdien av X øker.

Når tegnene på forskjellige koeffisienter er forskjellige i kubikkfunksjonen, det vil si at noen har positive tegn og noen har negative tegn, kan grafen til funksjonen ha både konvekse og konkave segmenter avhengig av koeffisientens verdier.

En slik kubikkfunksjon der tegn på koeffisientene for variabler avviker kan uttrykkes som følger:

Y = a + bX - cX2 + dX3

Der tegnet på koeffisienten c for variabel X2 er negativt, mens andres koeffisienter er positive.

 

Legg Igjen Din Kommentar