Output Maximization and Cost Minimization | Produksjonsteori

I denne artikkelen vil vi diskutere om: - 1. Betingelser for maksimal ytelse underlagt en kostnadsbegrensning 2. Betingelser for minimumskostnad underlagt en utgående begrensning.

Betingelser for maksimal ytelse med forbehold om en kostnadsbegrensning :

La oss anta at produksjonsfunksjonen til firmaet er:

q = f (x, y) [ekv. (8.21)]

der q er mengden produsert produksjon per periode og x og y er mengdene av de to variable inngangene som brukes per periode av firmaet. Det antas her at førsteordens og andreordens partielle derivater av q wrt x og y eksisterer.

La oss også anta at selskapets kostnadsbegrensning er gitt å være:

C ° = r X x + r Y y (8, 38)

hvor C ° er det faste beløpet som skal brukes på de to inngangene, og r 1 og R2 er prisene på de to inngangene. Vi har til hensikt å utlede betingelsene for den ytelsesmaksimerende likevekten til firmaet underlagt kostnadsbegrensningen.

Med tanke på å gjøre dette, ville vi danne Lagrange-funksjonen:

V = f (x, y) + λ, (C ° - r X x - r Y y) (8, 39)

hvor λ er den ubestemte Lagrange-multiplikatoren.

Her er V en funksjon av x, y og λ, og de første ordensbetingelsene (FOC) for begrenset utgangsmaksimering ville blitt oppnådd hvis vi setter førsteordens partielle derivater av V wrt x, y og X lik null.

Derfor er FOC:

Vi har allerede visst at (8.43) - (8.46) er de forskjellige formene for FOC for begrenset produksjonsmaksimering, og vi har forklart deres økonomiske betydning. La oss her merke to ting til. For det første sørger ligning (8.42) for at kostnadsbegrensningen er oppfylt.

For det andre har vi fra (8.40) og (8.41):

dvs. gjensidigheten til X gir oss de marginale kostnadene for produksjonen uansett hvordan firmaet øker sin produksjon - ved å bruke mer av inndata X eller mer av inndata Y. Vi kan nå komme til andreordens tilstand (SOC) for utgangsmaksimering .

SOC gir oss at den grensede hessiske determinanten (D) skal være større enn null ved det punktet hvor FOC har blitt tilfredsstilt:

For å forstå betydningen av SOC som gitt av (8.43), la oss huske følgende:

Derivatet av isoquantens helning er

= positiv (på det punktet hvor FOC har vært fornøyd), på grunn av SOC (8.51) og siden f y > 0 ved at antakelsen til MP S for innspillene var positive. Derfor har vi sett at SOC innebærer at derivatet av hellingen til IQ vil være positivt, dvs. at IQ vil være konveks til opprinnelsen, ved poenget med tangensitet.

Siden ethvert punkt på en IQ kan være et poeng av tangens avhengig av iso-kostnadslinjen, så innebærer SOC faktisk at IQ skal være konveks til opprinnelsen i hele det relevante negativt skrånende området der MP X, MP Y > 0.

Det kan her bemerkes at siden annenordens eller tilstrekkelig betingelse (8.51) for begrenset utgangsmaksimering er tilfredsstilt på hvert punkt innenfor domenet til en vanlig strengt kvasi-konkave funksjon, bør produksjonsfunksjonen (8.21) til firmaet være en vanlig strengt kvasi-konkave funksjon. Først da vil andreordens betingelse være oppfylt.

For øvrig kan vi merke oss at betingelsene (8.43) - (8.46) også er FOC for minimering av produksjonen med en kostnadsbegrensning. Det vil si at utgangen kan være minimum også ved spenningen mellom ICL og en IQ.

I så fall vil imidlertid SOC være:

Betydningen av tilstanden (8.52) er at derivatet av hellingen til IQ vil være negativt ved poenget, dvs. IQ vil være konkav til opprinnelsen. Det vil si at hvis IQ-ene til firmaet er konkave, ikke konvekse, til opprinnelsen, vil outputen være minimum og ikke maksimal ved punktet for IQ-ICL-tangens.

Betingelser for minstekostnader med forbehold om en output-begrensning:

Vi skal nå utlede betingelsene for å minimere kostnadene for en bestemt mengde produksjon. La oss anta at firmaet har bestemt seg for å produsere en bestemt mengde, q °, av produksjonen. Derfor vil firmaet måtte forbli på en bestemt isoquant som er

q ° = f (x, y) (8, 53)

La oss også anta at firmaets kostnadsligning er

C = r X x + r Y y (8, 54)

Her er Lagrange-funksjonen som er relevant for begrenset kostnadsminimering

Z = r X x + r Y y + μ [q ° - f (x, y)] (8, 55)

hvor μ er Lagrange-multiplikatoren.

I følge Lagrange-metoden ville FOC-ene for den begrensede kostnadsminimeringen være

Eller, h (x, y) = 0 (8, 58a)

Tilstand (5.58) sikrer at begrensningen på utdata er oppfylt.

Igjen, fra (8.56) og (8.57), får vi:

Det vi har oppnådd her, er at FOC-ene for maksimal effekt er de samme som kostnadsminimering.

La oss nå komme til andreordens eller tilstrekkelig betingelse for begrenset kostnadsminimering som er gitt som den relevante borderd Hessian-determinanten er mindre enn null;

Siden betingelsen (8.63) er den samme som betingelsen (8.51), er SOC for kostnadsminimering identisk med den for utgangsmaksimering.

 

Legg Igjen Din Kommentar