Noen patologiske etterspørselskurver (med diagram)

Noen patologiske etterspørselskurver:

Normalt faller etterspørselskurven for en viss god skråning nedover mot høyre på grunn av inntektseffekten og substitusjonseffekten av en endring i prisen. Men i noen tilfeller kan vi ha unormale eller 'patologiske' etterspørselskurver.

En slik sak er saken om en Giffen-vare. Noen ganger blir det observert i tilfelle av en god, si, X, at innledningsvis er inntektseffektens art slik at sammen med substitusjonseffekten vil etterspørselskurven skrå nedover mot høyre som prisen på varen faller og forbrukerens reelle inntekter stiger.

Men etter et visst punkt, si E i Fig. 6.60, blir goden en Giffen-god, dvs. at inntektseffekten for godet blir så 'unormal' at den overmoder den normale oppførselen til substitusjonseffekten og gjør etterspørselskurven skråner nedover mot venstre med påfølgende fall i prisen på varen og den påfølgende økningen i forbrukerens reelle inntekter.

Derfor ville den enkeltes etterspørselskurve, d x, i Giffen gode tilfelle ha en knekk på punktet E i fig. 6.60. Det kan her bemerkes at abnormiteten i etterspørselskurven i Giffen-saken ikke skyldes noen lempelse av aksiomene til ordinær nytte.

Det oppnås til tross for at IC-ene er konvekse til opprinnelsen. Det oppstår fordi forbrukerens preferansemønster etter et poeng gjør at det gode 'sterkt' er underordnet ham overfor andre varer, selv om varene fortsatt er en MIB.

Det kan imidlertid være noen andre patologiske tilfeller som kan oppnås på grunn av avgang fra aksiomene til ordinær nytte. Et slikt tilfelle oppnås når individets IC er konveks for noen deler av lengden og konkav andre steder, dvs. at den ikke er konveks (til opprinnelsen) overalt. To slike kurver er vist på fig. 6.61.

Hvis forbrukerens budsjettlinje er A 1 B 1, er IC 1 den høyeste IC som forbrukeren kan nå, men ikke på et unikt punkt. Han kan bo på et av de to punktene på IQ, nemlig E og G. Han kan ikke velge punktet F på IC 1, fordi F ligger på en høyere budsjettlinje A 2 B 2, vil kreve et større beløp av penger som vil gjøre det mulig for forbrukeren å nå punktet H på en høyere IC, nemlig IC 2 .

Derfor, gitt formen til IC-ene i fig. 6.61, kan enhver budsjettlinje, si A 2 B 2, berøre to IC-er - ved en konkav seksjon av den nedre kurven, IC 1 ved punktet F, og ved to konvekse seksjoner av den høyere kurven, IC 2 ved punktene H og L.

La oss nå anta at prisen på god X implisitt i de parallelle budsjettlinjene A 1 B 1, A 2 B 2 osv. Er p x (2), og forbrukerens inntekt implisitt i budsjettposten A 2 B 2 er M 2 . Gitt hans inntekt og prisen på X, vil budsjettposten være A 2 B 2, og mengden kjøpt av god X vil være x 1 på punktet H, eller x 2 på punktet L.

Med andre ord har vi her oppnådd at til prisen p x (2) kan etterspørselen etter X være x 1 eller x 2 . Siden forbrukeren ikke kan kreve noen mengde som ligger mellom x 1 og x 2, til prisen for p x (2), vil det være en horisontal diskontinuitet i etterspørselskurven for god X til prisen p x (2).

Den patologiske etterspørselskurven, d x, vil i dette tilfellet være som kurven vist i fig. 6.62. Det ville være en kurve i to deler, nemlig MN, og RS, og det ville være en diskontinuitet mellom disse to delene til prisen p x (2).

Til slutt skal vi diskutere et patologisk tilfelle der etterspørselskurven ville ha et vertikalt snitt som det for etterspørselskurven, d x i fig. 6.63 (b). Denne typen etterspørselskurve vil bli oppnådd hvis likegyldighetskurven har et "skarpt" hjørne, slik som A i fig. 6.63 (a).

Det særegne ved denne saken ligger i det faktum at hver av en rekke priser, for eksempel, p x (1), p x (2), p x (3), ... av god X implisitt i budsjettlinjene H 1, H 2, H 3, ... vil gi oss den samme likevekten av forbrukeren på punktet A.

Med andre ord, til alle disse prisene, nemlig p x (1), p x (2), p x (3), ... likevektsmengden etterspørres av god X vil være den samme, si, x 0, og så i løpet av disse prisene ville forbrukerens etterspørselskurve for god X ha en vertikal seksjon.

Ikke-lineære budsjettlinjer :

I likegyldighetskurve-teorien, hvis prisene på de to varene, X og Y, blir gitt og konstant med mengden som er kjøpt, vil forbrukerens budsjettlinje være lineær - det vil være en negativ skrå rett linje.

Hvis prisene ikke er konstante, vil vi få ikke-lineære budsjettlinjer i stedet for de lineære. La oss for eksempel anta at forbrukeren har markedsmakt slik at han kan kjøpe mer av en vare, for eksempel, X, til en mindre pris, mens prisen på den andre varen (Y) forblir den samme uavhengig av mengden han kjøper .

I dette tilfellet, når forbrukeren kjøper mer av god X, faller x, p Y forblir uendret, og slik vil p x / p y falle. Det vil si at den numeriske helningen på budsjettlinjen ville falle etter hvert som forbrukeren kjøper mer av X, dvs. budsjettlinjen ville være flatere nedover, eller den ville være konveks til opprinnelsen, som kurven AB i fig. 6, 64 til 6, 66.

Hvis likegyldighetskurvene (IC) har vanlig form, dvs. hvis de er negativt skrå, tørre, konvekse til opprinnelsen, ville forbrukernes likevektsløsning være en hjørneløsning enten i hjørnet A i fig. 6.64, eller, i hjørnet B i fig. 6.65, avhengig av om IC-ene er flatere eller brattere gjennom budsjettlinjen.

Men hvis IC-ene er parallelle med budsjettposten helt eller delvis som IC-ene på figur 6.66, ville en av disse IC-ene helt eller delvis sammenfalle med budsjettposten. Dette har skjedd i fig. 6.66, der kurven IC 3 har falt sammen med budsjettlinjen over strekningen RS.

I dette tilfellet ville vi ikke oppnå en unik likevektsløsning. For ethvert punkt på denne strekningen ville være en likevektsløsning - det vil ligge på budsjettposten og også på den høyest mulige IC (her IC 3 ).

Til slutt ville forbrukerens budsjettlinje være ikke-lineær og konkav til opprinnelsen hvis han har monopsonistisk makt i markedet, dvs. hvis prisen på god X stiger når forbrukeren kjøper mer av X, vil prisen på god Y forbli uendret uavhengig av av kjøpt mengde.

Når forbrukeren kjøper mer av X, dvs. når han beveger seg nedover mot høyre langs budsjettlinjen, stiger p X / p Y, dvs. den numeriske helningen på budsjettlinjen stiger. Med andre ord, her vil budsjettposten være brattere nedover, eller den ville være konkav til opprinnelsen som budsjettposten AB på fig. 6.67.

Hvis IC-ene er negativt skrånende og konvekse til opprinnelsen, ville vi her få en unik og indre likevektsløsning på tidspunktet for tangens mellom budsjettlinjen og en IC. Denne likevektsløsningen er gitt ved punktet T i fig. 6.67. På dette tidspunktet ville forbrukeren kjøpe OM av god X og PÅ av god Y.

Det kan her bemerkes at hvis bare forbrukerens pengeinntekter stiger, ville den konvekse eller konkave budsjettlinjen forskyves oppover eller til høyre, men skråningen (p x / p y ) vil forbli den samme ved hver x, fordi, ved hver x ville p x være den samme for hver budsjettlinje (mens p Y forblir uendret etter antakelse).

Studentene kan selv verifisere om analysen knyttet til effekten av pris- og inntektsendringer i hjørne og interiør (point of tangency) løsningssaker kan brukes på sakene.

Eksempel 1:

Hvis den enkeltes bruksfunksjon for to varer er gitt av U = xαyβ, og hvis den enkeltes budsjettbegrensning er gitt av M = p x .x + p y. Y, kan du utlede sine individuelle etterspørselfunksjoner for varene X og Y i form av M, α og β.

Løsning:

Individets nyttefunksjon er

U = xαyβ (1)

og budsjettbegrensningen hans er

M = p x .x + p y. Y (2)

hvor M er hans faste inntekt.

Den nytte-maksimerende individuelle etterspørselfunksjonene for varene må avledes fra betingelsene for utnyttelsesmaksimering.

For å oppnå disse betingelsene, la oss danne den relevante Lagrange-funksjonen:

Fra (3) oppnår vi førstegangsbetingelsene for at begrenset bruksmaksimering skal være:

Ved å dele (4) med (5) etter å ha omsatt vilkårene, oppnår vi:

Igjen, fra (6) og (8), får vi:

(9) og (10) gir oss de nødvendige etterspørselsfunksjonene til varer X og Y i form av M, a og p.

Eksempel 2:

Gitt et individs bruksfunksjon U = (x + 2) (y + 1), priser p x = 2 og p y = 6, og inntekt M (X og Y er de to varene som individet bruker hele inntekten på),

(a) Skriv det relevante Lagrange-uttrykket og forklar dets begrunnelse;

(b) Finn den enkeltes etterspørsel etter X og Y;

(c) Kontroller at andreordens betingelser er oppfylt;

(d) Hva betyr andreordens forholdene i økonomiske termer?

Løsning:

Vi får brukerfunksjonen til forbrukeren som:

U = (x + 2) (y + 1) (1)

og budsjettposten hans er:

M = p x x + p y y

eller, M = 2x + 6y (2)

hvor M er det oppgitte inntektsbeløpet.

(a) Den relevante Lagrange-funksjonen for optimalisering av verktøy underlagt begrensninger i budsjettet er:

V = (x + 2) (y + 1) + λ (M-2x-6y) (3)

Lagrange-funksjonen (3) er konstruert slik at hvis begrensningen er oppfylt, blir V identisk med U. Derfor gir betingelsene for maksimalisering av V oss betingelsene for maksimalisering av U underlagt budsjettbegrensningen.

Her ligger begrunnelsen for dannelse av Lagrange-funksjonen. Vi kan også observere at maksimalisering av V garanterer at budsjettbegrensningen (2) ville være oppfylt, ettersom de første ordensbetingelsene for slik maksimalisering inkluderer M - p x x - p y y = 0 [ekv. (6)].

(b) Førsteordens betingelser for begrenset maksimalisering av U er:

Som nevnt gir betingelse (6) oss at budsjettbegrensningen (2) er oppfylt.

Deling (5) av (4), etter passende transponering av vilkår, har vi:

Nå, fra (6):

Individets etterspørsel etter x og y er gitt av henholdsvis (10) og (11).

(c) Tilstanden andre ordre gir oss:

Ved å sette verdien fra (4), (5) og (6a), oppnås venstre side av (12) for å være:

Derfor blir det bekreftet at betingelsen for andre ordre er oppfylt.

(d) Tilstanden andre ordre hjelper oss med å fastslå at likegyldighetskurvene (IC) ville være konvekse til opprinnelsen på det punktet der førsteordens betingelser er oppfylt, det vil si på punktet for tangens mellom budsjettposten og en IC. Den økonomiske betydningen av dette er at den marginale substitusjonsgraden av x for y vil avta når forbrukeren erstatter x for y.

Eksempel 3:

(i) Finn de optimale råvarenivåene som er kjøpt for en forbruker hvis nyttefunksjon og budsjettbegrensning er henholdsvis V = q 1 1, 5 q 2 og 3q 1 + 4 q 2 = 100.

(ii) Vis at den optimale pakken ville forbli den samme hvis verktøyet hans var:

V = 1, 5 log q 1 + log q 2 . Virker dette resultatet forundrende for deg? Forklar svaret ditt.

Løsning:

(i) Brukerfunksjonen til forbrukeren er:

og budsjettbegrensningen hans er:

For å finne den optimale varebunten, må vi konstruere den relevante Lagrange-funksjonen:

Førsteordens betingelse for maksimalisering av verktøyet underlagt budsjettbegrensningen er:

Deling (5) med (4) etter passende transponering av begrepene:

Legger til (6) og (7):

Setter q 2 = 10 in (7):

Derfor er de optimale kjøpsnivåene q 1 = 20 enheter og q 2 = 10 enheter, forutsatt at andreordens betingelse er oppfylt. (Ii) Nyttighetsfunksjonen nå er

W = 1, 5 logq 1 + logq 2 (8)

[Vi har brukt notasjonen W i stedet for V fordi dette er en annen nyttefunksjon enn (1)].

Budsjettbegrensningen er den samme som (2),

For å finne de optimale nivåene på varene, er den relevante Lagrange-funksjonen

T = 1, 5 log q 1 + log q 2 + λ (100 - 3q 1 - 4q 2 )

FOC er oppnådd som:

Fra (9) og (10) har vi det

Siden (11) og (12) er de samme som (6) og (7), ville løsningene for optimale nivåer av varene være de samme som har blitt oppnådd før i (i), dvs. q 1 = 20 enheter og q 2 = 10 enheter forutsatt at SOC er fornøyd.

Resultatet av at vi oppnår de samme optimale nivåene for varene for to forskjellige nyttefunksjoner (1) og (8), virker ikke forundrende for oss fordi bruksfunksjonen (8) er en positiv monoton transformasjon av (1).

Dette kan sees på følgende måte:

der V er nyttefunksjonen (1)

Nå er W = F (V) en positiv monoton transformasjon av V siden F (V 1 )> F (V 0 ) når V 1 > V 0 . Nyttighetsfunksjonen oppnådd ved hjelp av positiv monoton transformasjon av en annen nyttefunksjon representerer den samme nytteindeksen og likegyldighetskartet, og derfor det samme optimale punktet som den opprinnelige funksjonen,

Eksempel 4:

Under hvilke forhold vil det være mulig for en forbruker å være i likevekt:

(a) Mens marginale verktøy (MUer) for noen varer han forbruker er null?

(b) Mens MU-ene for noen varer han nekter å kjøpe er større enn MU-ene for noen varer han kjøper?

(c) Mens MU-ene for alle varene han kjøper er nøyaktig proporsjonale med prisene?

(d) Mens MU-ene for alle varene han kjøper er nøyaktig like?

Løsning:

For å kunne bruke likegyldighetskurve-teorien (IC) skal vi her anta at forbrukeren bare kjøper to varer X og Y.

(a) La oss anta MU X = 0 og, med den vanlige MIB-antagelsen, MU Y > 0.

Derfor MRS X, Y = MU X / MU Y = 0

=> Den numeriske helningen til IC-ene = 0

=> IC-ene ville være horisontale rette linjer.

Hvis IC-ene er horisontale rette linjer, er forbrukeren i stand til å nå høyest mulig IC ved hjørnepunktet av budsjettlinjen med y-aksen i fig. 6.68. Med andre ord, her ville vi ha en hjørneløsning, og på likevektspunktet A, ingenting av gode X.

Den økonomiske tolkningen av arten av forbrukerens likevekt som vi har oppnådd i dette tilfellet er veldig enkel. Siden MU X = 0 og MU Y > 0, oppnår vi MU X = 0 og

MU Y > 0, dvs. MU-pengene på god X er null og MU-pengene på god Y er positiv. Siden MU-pengene brukt på god X er null, bruker forbrukeren ingenting på dette godet og kjøper ingenting av det.

Derfor må han bruke alle pengene sine på god Y, og han kjøper OA av god Y som vist på fig. 6.68, og siden MU-pengene brukt på Y er positiv, har han ingen problemer med å bruke alle pengene sine på god Y .

Imidlertid, hvis vi antok akkurat det motsatte, dvs. MU X > 0 og MU Y = 0, ville den numeriske helningen til IC være MU X / MU Y = ∞, dvs. IC'ene ville være vertikale rette linjer som vist i Fig. 6.69. I dette tilfellet kan forbrukeren nå høyest mulig (dvs. lengst fra opprinnelsen) IC langs budsjettlinjen på punkt B.

Også her har vi en hjørneløsning. Men nå vil forbrukeren kjøpe bare god X (OB av god X) og ingenting av Y. For nå er MU-pengene brukt på god X positiv (MU X / p x > 0) og MU-pengene brukt på god Y er null (MU Y / p y = 0)

(b) La oss anta (i henhold til de gitte betingelser) at forbrukeren bare kjøper god X og nekter å kjøpe Y selv om MU X <MU Y.

Nå kan han bare kjøpe X hvis likevekt finner sted på hjørnet B av budsjettlinjen AB med x-aksen på fig. 6.70. Hvis vi antar at IC-ene har sine vanlige egenskaper, dvs. hvis IC-ene er negativt skrå og konvekse til opprinnelsen, kan en hjørneløsning på punkt B oppnås når IC-ene er brattere overalt enn budsjettlinjen som vist på fig. 6, 70. Nå,

god X er større enn MU pengene brukt på god Y overalt langs budsjettgrensen.

Det følger ovenfra at likevekt ved punkt B krever:

skal ikke bare ha p x / p Y <MU X / MU Y, men også p x / p Y <1, eller, p x <p Y. Dette betyr på sin side at hvis MU x / MU Y, eller, den marginale betydningen av X i form av Y er mindre enn 1 (en), så er p x / p Y eller markedsprisen på X i termer av Y skal ikke bare være mindre enn 1 (en), men også den skal være mindre enn den marginale betydningen av X når det gjelder Y.

Bare da vil forbrukeren bare kjøpe X og ingen Y, selv om MU X <MU Y. (c) Vi får når som helst på en IC:

dvs. numerisk helning på en IC = numerisk helning av budsjettlinjen = konstant (gitt p x og P y ).

Dette innebærer at IC-ene er negativt skrånende rette linjer og parallelt med budsjettposten. I dette tilfellet vil forbrukeren være i likevekt når som helst på IC-en som tilfeldigvis faller sammen med budsjettposten,

(d) Vi får:

MU X = MU Y (4)

Forutsatt at IC-ene har sine vanlige egenskaper, gir forbrukerens likevektsforhold oss

Derfor, hvis MU X = MU Y, ville forbrukeren være i likevekt på tidspunktet for tangens mellom budsjettgrensen og en av IC-ene hans hvis p x = p Y.

Eksempel 5:

En forbruker i en verden med to varer har likegyldighetskurver med en helning = 0, 5 overalt. Finn kjøpeplanen for likevekt når prisen på X (p x ) = Rs 5, prisen på Y (p Y ) = Rs 5 og hans planlagte utgifter er Rs 1500. Hva skjer når p x = Rs 3 og p Y = Rs 6.

Løsning:

Vi får følgende informasjon:

(i) Pris på X (p x ) = Rs 5, endres deretter til Rs 3

(ii) Pris på Y (p Y ) = Rs 5, endres deretter til Rs 6

(iii) Planlagte utgifter til forbrukeren (M) = Rs 1500

(iv) Den numeriske helningen til IC-ene = 0, 5 overalt

dvs. IC-ene er negativt skrå linjer med skråningen = - 0, 5.

Fra de ovennevnte dataene oppnår vi at den numeriske helningen for budsjettlinjen er P X / P Y = Rs5 / Rs 5 = 1wheneas den numeriske helningen til rettlinje IC er 0, 5. Så her er IC-ene rette linjer flatere overalt enn budsjettlinjen.

I et slikt tilfelle vil vi ha en hjørneløsning på det punktet der budsjettlinjen møter y-aksen. Det vil si at likevektskjøpsplanen til forbrukeren ville være null på X og Rs 1.500 / Rs 5 = 300 enheter y - han ville bare kjøpe y. Løsningen oppnås ved hjørnepunktet L på budsjettposten LM på fig. 6.71.

I det andre tilfellet er den numeriske helningen til budsjettlinjen p X / p Y = Rs 3 / Rs 6 = 0.5 og den numeriske helningen for den rette linjen IC er også 0, 5, dvs. her vil IC-ene være parallelle med budsjettet linje. I et slikt tilfelle vil forbrukeren være i likevekt når som helst som A, B, C, etc. som ligger på IC, nemlig IC 3, som faller sammen med budsjettposten LM i fig. 6.72. Her vil ingen unik likevektsløsning bli oppnådd.

Eksempel 6:

Hva betyr det hvis en forbrukers likegyldighetskurver er negativt skrånende, med høyere likegyldighetskurver som viser lavere bruksnivå?

Løsning:

La oss anta at brukerfunksjonen til forbrukeren er

U = f (x, y) (1)

Tar vi total differensial på (1), får vi

Nå, for en bevegelse langs en IC, har vi, dU = 0. Så (2) gir oss

Fra (3) oppnår vi at IC-helningen kan være negativ hvis:

(i) Både f x (= MU X ) og f y (= MU y )> 0. dvs. hvis begge varene er 'varer', dvs. at de er av typen «more is better» (MIB), eller, (ii) både f x (= MU X ) og f y (= MU y ) <0 dvs. hvis begge varene er 'dårlige', dvs. de er av typen "mer er verre" (MIW).

I tilfelle (i) representerer en høyere IC et høyere nivå av tilfredshet, for hvilket som helst punkt på en høyere IC som punktet A på IC 2 i fig. 6.73, kan det vises til å representere en kombinasjon av flere av begge varene enn noen punkt som B på nedre IC, dvs. IC 1 . Siden MU X, MU y > 0, er bruksnivået på A her høyere enn bruksnivået på B.

På den annen side, i tilfelle (ii), vil en høyere IC representere et lavere nivå av tilfredshet. For nå, siden MU X, MU Y <0, vil punktet A på den høyere IC, dvs. IC 2, som representerer flere av begge varene, gi forbrukeren et lavere nivå av tilfredshet enn punkt B på den nedre IC som er IC 1 .

Vi kan derfor konkludere med at når det gjelder negativt skrånende IC-er, innebærer den høyere kurven som representerer et lavere nivå av tilfredshet, at begge varene er av "mer er dårligere" type, dvs. MU X, MU Y <0.

Eksempel 7:

(a) Ta hvilke som helst to punkter på en normalt formet likegyldighetskurve og sammenføy dem med en rett linje. Hva indikerer helningen på denne linjen?

(b) Hva er betydningen av en likegyldighetskurve med et segment parallelt med den vertikale aksen?

(c) Bevis at linjen når som helst på en budsjettlinje kan kutte eller berøre bare en likegyldighetskurve.

Løsning:

(a) La oss anta at forbrukeren kjøper bare to varer, X og Y, og de normalt formede likegyldighetskurvene til forbrukeren for X og Y blir gitt til oss.

Nå vil den numeriske helningen på den rette linjen oppnådd ved å sammenføye hvilke som helst to punkter på en IC gi oss substitusjonshastigheten av X i gjennomsnitt i gjennomsnitt over lysbuen mellom de to punktene (forbrukerens tilfredshetsnivå forblir konstant).

Imidlertid, hvis de to punktene er tilstrekkelig nær hverandre slik at den rette linjen som forbinder dem kan bli en tangens til IC, ville den numeriske helningen til tangenten representere det som kalles den marginale substitusjonshastigheten av X for Y.

Det kan her bemerkes at MRS for X for Y når som helst på en IC er definert som mengden Y som forbrukeren er villig til å gi avkall på for å skaffe en ekstra enhet X, forutsatt at hans tilfredshetsnivå forblir konstant.

La oss nå illustrere punktet som diskuteres ved hjelp av fig. 6.74. I fig. 6.74 er hvilke som helst to punkter på en IC P og Q. Den numeriske helningen på den rette linjen som forbinder disse to punktene er PT / TQ. Hva PT / TQ representerer vil være klart for oss hvis vi tenker slik.

Når forbrukeren går fra punkt P til punkt Q, gir han opp PT av Y og tar inn TQ på X. Så for å få hver ekstra enhet X, må han i gjennomsnitt gi avkall på PT / TQ for Y. Så PT / TQ er gjennomsnittlig substitusjonshastighet av X for Y over lysbuen PQ for den berørte IC.

På den annen side gir begrensningsverdien til PT / TQ når P o nærmer seg Q ​​langs buen PQ eller som TQ → 0, oss MRSX, Y dvs. vi har

(b) Vi blir gitt at IC til en forbruker har et segment parallelt med y-aksen. Hvis vi antar at resten av kurven normalt er formet, vil IC se ut som den som er tegnet i fig. 6.75 nedenfor.

I fig. 6.75 er segmentet til IC under punktet M normalt formet. Det vil si at langs dette segmentet er både x og y varer av “More is better (MIB) type”. Men IC blir parallell med den vertikale aksen over punktet M.

Langs dette vertikale segmentet, gitt mengden x (OA), øker ikke (eller senker) mer av y forbrukerens tilfredshet. Med andre ord, langs det vertikale segmentet, blir den marginale nytteverdien av Y lik null.

Derfor, hvis IC er som den som er gitt i fig. 6.75, er mer av Y velkommen til forbrukeren opp til en viss mengde (her OB). Hvis forbrukeren har mer av Y utover dette punktet, blir marginal nytteverdi av Y lik null, dvs. Y er ikke lenger et MIB-gode for forbrukeren. Det kan imidlertid bemerkes at X for en slik IC alltid er en MIB-god.

Vi kan også nevne her at langs det vertikale segmentet av IC, er den numeriske helningen uendelig stor, og derfor er MRS X, Y også lik den uendelig stor langs dette segmentet. Dette fremgår også av det faktum at MRS X, Y = MU X / MU Y, og når MU Y = 0, MU X, Y = ∞.

(c) Når som helst på budsjettposten, kan linjen bare kutte eller berøre en IC. Fordi linjen kutter eller berører mer enn en IC på et hvilket som helst tidspunkt på budsjettlinjen, som vist på fig. 6.76, ville disse IC-ene kutte eller berøre hverandre på det punktet. Men en av standardegenskapene til IC-ene er at de ikke kan klippe eller berøre hverandre.

La oss nå se, hva som skjer hvis to IC-er kutter eller berører hverandre. På fig. 6.77 har de to IC-ene kuttet hverandre på punktet 'P'.

La oss ta et hvilket som helst punkt M på IC 1 og punktet N på IC 2, slik at N er vertikalt over M. Nå er forbrukeren likegyldig mellom M og P, for begge ligger på IC 1 . Igjen er forbrukeren likegyldig mellom P og N, for begge ligger på IC 2 . Derfor er han likegyldig under overgangsbetingelsen mellom M og N.

Men han kan ikke være likegyldig mellom M og N på grunn av MIB-antagelsen, for N har mer av Y men samme mengde X som M. Så hvis noen to (eller flere) ICer kutter hverandre på et punkt, kommer vi til en logisk motsetning. Det samme ville skje hvis IC-ene berører hverandre.

Siden IC-ene ikke kan kutte eller berøre hverandre, er det ikke mulig for budsjettposten å kutte eller berøre mer enn en IC på noe punkt på den.

Eksempel 8:

Tenk på en forbruker i en to-handelsvare (X og Y) verden hvis likegyldighetskart er slik at helningen til IC-ene er overalt lik –x / y, hvor x og y er mengdene av henholdsvis X og Y.

Vis at etterspørselen etter X er uavhengig av prisen på Y og at priselastisiteten til etterspørselen etter X er enhetlig.

La oss anta at prisene på varer X og Y er henholdsvis p x og p Y. Etter den gitte betingelse MRS X, Y = y / x

På det punktet som forbrukernes likevekt

MRS XY = p x / p y (1)

Fra (1) og (2) har vi det

Det er oppnådd fra (3) at forbrukeren bruker halvparten av sin pengerinntekt (M) på X uavhengig av p Y, og halvparten på Y. Dette gir oss at etterspørselen etter X er uavhengig av p Y.

Nå, hvis M forblir konstant, har vi det

Tar vi total differensial på (3), har vi det

Siden koeffisienten for priselastisitet for etterspørselen er

(4) gir oss E = - 1

og den numeriske koeffisienten for priselastisitet for etterspørselen er 1.

Eksempel 9:

Avled MRS for Cobb-Douglas nyttefunksjonen og den for en positiv monoton transformasjon av funksjonen, og kommenter resultatet.

Løsning:

La oss anta at Cobb-Douglas nyttefunksjonen er

Per definisjon har vi det

La oss nå utlede MRS for en positiv monoton transformasjon av (1), som antas å være

Hvor v er det monotonisk transformerte verktøyet fra U.

Vi har oppnådd MRS for at de to sakene som er gitt av (2) og (4), skal være identiske. Dette er fordi den positive monotoniske transformasjonen av en nyttefunksjon representerer samme preferanser som den opprinnelige funksjonen.

Eksempel 10 :

Utlede Cobb-Douglas-etterspørselfunksjonene fra Cobb-Douglas Utility-funksjon. La oss anta at Cobb-Douglas-nyttefunksjonen er gitt som

U (x, y) = xcyd (1)

og budsjettbegrensningen til forbrukeren er

M = p x x + p y y (2)

Siden nyttefunksjonen (1) er den samme som den positive monotontransformasjonen, la oss erstatte (1) med

log [U (x, y)] = c log x + d log y (3)

La oss nå maksimere nyttefunksjonen (3) underlagt budsjettbegrensningen (2). Den relevante Lagrange-funksjonen er

V = c log x + d log y + λ (M - p x x - p y y) (4)

Nå er førsteordens betingelser for det nødvendige maksimum:

Ligning (7) gir oss bare at begrensningen (2) er tilfredsstilt og fra ligning (5) og (6) har vi

Å legge til (8) og (9), har vi

Nå, fra (8) og (10), har vi det

Tilsvarende har vi fra (9) og (10)

De påkrevde Cobb-Douglas etterspørselfunksjonene for varer X og Y er gitt av (11) og (12).

Eksempel 11:

Avled etterspørselsfunksjonen for kvasi-lineære preferanser.

Løsning:

La oss anta at de kvasi-lineære preferansene er representert av følgende nyttefunksjon:

U (x, y) = V (x) + y (1)

og budsjettgrensen til forbrukeren er gitt av

M = p x x + p Y y (2)

For å utlede den nødvendige etterspørselsfunksjonen, må vi maksimere U i (1) underlagt budsjettbegrensningen (2).

La oss løse budsjettbegrensningen (2) for y som en funksjon av x, og få

Ved å erstatte fra (3) i (1), har vi den begrensede nyttefunksjonen som

Nå er førsteordens betingelse for begrenset maksimalisering av U

Ligning. (5) gir oss den nødvendige etterspørselsfunksjonen for god X. Denne etterspørselfunksjonen har den interessante egenskapen at etterspørselen etter god X må være uavhengig av inntekt. [Dette er ikke noe nytt for oss. Vi ble også kjent med dette i vår likegyldighetskurve-analyse av forbrukernes likevekt under kvasi-lineær preferanse.]

Fra (5) kan det hende vi skriver omvendt etterspørselsfunksjon for god X som

Px (x) = V '(x) p Y (6)

Det vil si at den inverse etterspørselsfunksjonen til god X er det partielle derivat av nyttefunksjonen wrt x [ . . . V '(x) = ∂ U / ∂ X ] multiplisert med p Y. Når vi har etterspørselsfunksjonen for god X, oppnås etterspørselfunksjonen for god Y ved å sette verdien på x hentet fra (6) i budsjettbegrensningen (2).

Eksempel 12:

Avled etterspørselfunksjonene for den kvasi-lineære nyttefunksjonen, U (x, y) = log x + y.

Løsning:

Brukerfunksjonen til forbrukeren er gitt å være:

U (x, y) = log x + y (1)

La oss anta at begrensningen på budsjettet er

M = p x x + p Y y (2)

For å utlede de nødvendige etterspørselfunksjonene, må vi maksimere U i (1) underlagt budsjettbegrensningen (2). Fra (2) får vi

Ved å erstatte fra (3) i (1), har vi den begrensede nyttefunksjonen som

Nå er førsteordens betingelse for begrenset maksimalisering av U

Ligning. (5) gir oss funksjonen direkte etterspørsel etter god X. La oss merke at etterspørselen etter god X er uavhengig av forbrukerens pengeinntekter, M.

Fra (5) kan vi skrive omvendt etterspørselsfunksjon for god X as

Når vi nå setter verdien fra x fra (5) i budsjettbegrensningen (2), får vi

(7) gir oss den direkte etterspørselsfunksjonen for varer Y. Fra (7) får vi den omvendte etterspørselsfunksjonen for varer Y som

Vi har sett i (5) at etterspørselen etter god X er uavhengig av forbrukerens pengeinntekter. Faktisk, fra teori om at i en to-god (X og Y) modell med kvasi-lineær preferanse er nyttefunksjonen lineær i mengden av et av varene, si, Y og den er generelt ikke-lineær i mengden av annet bra, X.

For en slik funksjon blir etterspørselen etter god X uavhengig av pengerinntekten til forbrukeren, dvs. etterspørselen etter god X forblir konstant når pengerinntekten endres. Dette kan imidlertid være tilfelle bare over et visst område av verdien av inntekten. En etterspørselsfunksjon kan ikke være uavhengig av inntekt for hele inntektsverdiene.

For eksempel, når inntekten reduseres til null eller veldig nær null, kan ikke etterspørselen etter X forbli konstant - etterspørselen etter begge varene vil nærme seg null da.

Nå, med hvilket antall, etterspørselen etter god X vil forbli konstant, vil avhenge av skråningen på budsjettlinjene som tilsvarer forskjellige inntektsnivåer, dvs. forholdet mellom prisene på varene. La oss anta at mengden X er x 0 .

Derfor, så lenge pengerinntekten (M)> p x .x 0, vil forbrukeren alltid kjøpe x 0 av god X. I tilfelle av nyttefunksjon (1), ville vi ha x = x 0 = p y / p x [fra (5)], gitt p x og p Y. For M <p x x 0 kan ikke etterspørselen etter X forbli konstant ved x 0 .

Ved M = p x x 0 ville han kjøpe x 0 av X sammen med null Y, og for M <p x x 0, reduseres kjøpet av X og nærmer seg null langs x-aksen, siden y = 0. Derfor, vil inntektsforbrukskurven ha to deler. Den første delen vil være segmentet av x-aksen fra opprinnelsen (x = 0) til x = x 0 = p Y / p x, og den andre delen vil være en vertikal rett linje ved x = x 0, for M ≥ p x x 0 .

Vi kan nå relatere etterspørselen etter Y til den for X. Ved M = p x x 0 = p Y [fra (5)], y = 0, siden alle pengene vil bli brukt på X, og på M <p x x 0 = p Y også, y = 0. Dette er fordi M er så liten (M <p x ) at ikke engang en enhet av Y kan kjøpes. Derfor vil alle pengene nå bli brukt på x, selv om vi ville ha x <x 0, siden M <p x x 0 .

Til slutt, for M> p x x 0, når M øker x forblir konstant ved x 0, og slik at M - p x x 0, eller, øker pengene brukt på Y, og etterspørselen etter Y øker, og vi ville ha

Derfor er en bedre måte å skrive etterspørselen etter varene X og Y (forutsatt at nyttefunksjonen (1) og prisene på varene gitt er p x og p Y )

Eksempel 13:

A diminishing MRS implies that the MU of each good is diminishing. Is this statement true or false? Give reasons.

Løsning:

For a two-commodity consumer, let us suppose that the ordinal utility function is

U = f(x, y) (1)

Now, the MRS of good X for good Y is defined as

Because, positive f xx and f yy with a sufficiently large and positive f xy might also satisfy (3).

Again, for diminishing MRS, diminishing MU, ie, f xx, f yy < 0, is not sufficient. Because, then, a sufficiently large and negative value of f xy might make (3) impossible. Therefore, the given statement is not true.

Example 14:

If over the relevant range, the PCC for good Y is parallel to the y-axis, then the demand curve for Y is a straight line. Is this statement true or false? Give reasons.

Løsning:

Let us suppose that the two goods that are used by the consumer are good Y measured along the y-axis and money measured along the x-axis. Let us also suppose that the total quantity of money with the consumer is M and the quantity of money retained by him is m. Therefore, the amount of money spent by the consumer on Y is M − m.

From (1) above, we may conclude that the given statement is not true. Because, we obtain

that the slope of the demand curve for good Y is negative and from (2), we obtain that the slope of the demand curve increases as y increases.

Therefore, (1) and (2) give us that the demand curve for good Y is not a straight line. It is negatively sloped and convex to the origin. The PCC for good Y as per the given conditions and the demand curve for good Y with features obtained, have been shown in the diagrams.

Example 15:

In a 2-commodity world, show that the two goods cannot be inferior simultaneously.

Løsning:

The budget equation of the consumer is:

P 1 q 1 + P 2 q 2 = M (1)

where p 1 and p 2 are the prices of the two goods, and q 1 and q 2 are the quantities purchased of the two goods, and M is the consumer's money income.

In consumer theory, it is assumed that the LHS of (1), ie, the expenditure of the consumer, is equal to the RHS, ie, the consumer's money income.

Given this assumption, if both the goods are inferior, then, as M rises, p 1 and p 2 remaining constant, q 1 and q 2 both would fall, and then the expenditure of the consumer cannot be equal to his income, ie, the budget equation would not be satisfied. Hence both the goods cannot be inferior simultaneously.

The same problem may be presented geometrically in this way. According to the assumption of the theory, the consumer must remain on his budget line, spending all his money. Let us suppose that, initially, the consumer is at the point P on his budget line A 1 B 1 in Fig. 6.80.

Now, if his money income, M, rises, the prices of the goods, Pi and p 2 remaining unchanged, then his budget line would have a parallel rightward shift from A 1 A 1 to A 2 B 2, and the consumer, by assumption would have to remain at some point on his new budget line, A 2 B 2 .

In that case, the consumer would have to buy more of both the goods (at any point on A 2 B 2 between R and S), or, he would have to buy more of one good and the initial quantity of the other good (at the point R or S) or he would have to buy more of one good and less of the other good at any point like E and F, on A 2 B 2 other than those lying on the segment RS.

But nowhere on A 2 B 2 can he buy less of both the goods, which he would be required to do if both the goods are inferior to him simultaneously. Therefore, in this two-good model both the goods cannot be inferior simultaneously.

Example 16:

While it is impossible for all goods that a consumer buys to be Giffen goods, there is no reason why they should not all be simultaneously inferior—true or false? Give reasons.

Løsning:

There are two parts of the given statement. Let us first take up the first part which is:

it is impossible for all goods that a consumer buys to be Giffen goods. This statement is true, intuitively. For the sake of simplicity, we shall assume that the consumer purchases only two goods, and he has a given amount of money income all of which he has to spend, by the assumption of the theory, on the two goods.

Now, the price-demand relation for a Giffen good, is positive, ie, if the price of the good rises (falls), the quantity demanded of the good also rises (falls). Now, if both the goods are Giffen goods, then if the prices of both of them rise, the consumer would buy larger quantities of both of them which is impossible with a given amount of money income.

Conversely, if the prices of both the goods fall, the consumer would have to purchase less of both the goods by spending less than his money income, which is also not possible by assumption. Hence, both (ie, all) the goods purchased by the consumer cannot be Giffen goods. Therefore, the first part of the given statement is true.

We may now establish, mathematically, that the first part of the given statement is true.

For a two-commodity consumer, the budget constraint is:

M = p 1 q 1 + p 2 q 2 (1)

where q 1 and q 2 are the quantities purchased of the two goods, pi and p 2 are their prices, and M is the given amount of the consumer's money income which he has to spend on the two goods.

Taking total differential of (1), M remaining constant:

0 = p 1 dq 1 + q 1 dp 1 + p 2 dq 2 + q 2 dp 2 (2)

Now, if all (here both) the goods are Giffen goods, we would have: dq1, dq2 ≠ 0 when dp1, dp2 ≠ 0. And, in that case, the right hand side of (2) would be either positive or negative (p1, p2, q1, q2 being > 0) while the left hand side is equal to zero, ie, (2), and so (1), will not hold, and so all goods the consumer buys, cannot be Giffen goods. Therefore, the first part of the given statement is true.

Let us now come to the second part of the statement which is: there is no reason that all goods that a consumer buys should not be simultaneously inferior. That is, according to the statement all the goods purchased by the consumer may be simultaneously inferior.

Intuitively speaking, this statement is not true. For in the two-good case where a given amount of money income is to be spent, if both the goods are inferior and consumer's money income increases (decreases), prices remaining constant, the consumer would buy less (more) of both the goods. In the event, he must underspend (overspend) his money.

Therefore, both (or all) the goods purchased by the consumer cannot be inferior goods, and so, the statement is not true. We shall now establish mathematically that the second part of the statement is not true. Taking the total differential of the budget constraint (1), p 1 and p 2 remaining constant, we have

dM = p 1 dq1 + p 2 dq 2 (3)

Now, if both the goods are inferior, we would have: dq,, dq 2 ≠ 0 when dM ≠ 0, and in that case, the right hand side of (3) would be positive or negative when the left hand side would be negative or positive, ie, (3), and so (1), will not hold, and so all (here both) the goods purchased by the consumer cannot be inferior. Therefore, the second part of the given statement is not true.

Example 17:

It is impossible for both an individual's price elasticity of demand for a good and his income elasticity of demand for the same good to be simultaneously positive. Is this statement true or false. Give reasons.

Løsning:

Let us assume a two-good (good X and good Y) model. Price elasticity of demand for good X is given by:

Example 18:

Prove that the sum of own-price, cross- and income-elasticities of demand for a commodity is equal to zero.

Løsning:

The demand function for good X may be written:

x = f (p x, py, M) (1)

where x = demand for good x, p x = price of good x and p y = price of good y and M = money income of the consumer concerned.

Since the demand function for any good is homogeneous of degree zero in prices and income, we have:

On the basis of (1), (2) and (3), we obtain

Example 19:

What is the nature of the consumer if his ICs are concave?

Løsning:

Concave-to-the-origin ICs (Fig. 6.81) of a consumer between two goods, say, X and Y, would give us that the numerical slope of the ICs would increase as he moves downward towards right along an IC, ie, his marginal rate of substitution (MRS) of X for Y would increase as he has more of X and less of Y.

Here we have two implications about the nature of the consumer. First, since the ICs are negatively sloped, and if we assume a higher IC represents a higher level of satisfaction, then both MU X and MU Y would be positive, that is, both the goods are liked by the consumer.

Second, since the MRS of X for Y increases as the consumer has more of X, and the MRS of Y for X increases as the consumer has more of Y along an IC, the consumer would like to have only one of the goods (either X or Y) at a time. That is, here, the consumer would have an equilibrium solution at one of the corners of his budget line.

Example 20:

Explain whether the following statements are true or false:

(i) MRS is constant at all points on an ICC.

(ii) All inferior goods are Giffen goods.

(iii) Prices of cigarettes are higher compared to those in the last year, the demand for cigarettes is also higher. Therefore, cigarettes are Giffen goods.

Løsning:

(i) The given statement is true. We may explain this in the following way by referring to Fig. 6.82.

The ICC passes through the points of tangency between the consumer's ICs for the goods, say, X and Y, and his parallel budget lines obtained on account of successive increases in his money income, the prices of the goods remaining constant.

That is why along an ICC, the slopes of the consumer's ICs are equal, being equal to the slope of the (parallel) budget lines and, therefore, his MRS between the goods is constant at all points on his ICC. This is because MRS XY and numerical slope of an IC at any point is itself the consumer's MRS XY .

(ii) The given statement is not true. We may explain this in the following way: In the case of an inferior good, a rise in the consumer's real income due to a ceteris paribus fall in the price of the good would result in a fall in the quantity purchased of the good.

This is the income effect (IE). Also, the same fall in the price of the good would make the good relatively cheaper and the consumer would purchase the good in a larger quantity. This is the substitution effect (SE)—he would substitute the relatively cheaper good for the relatively dearer good.

Now, it may very well be the case that the SE rise in the demand for the good would be greater than the IE-fall in its demand. In this case, the price effect or the total effect (ie IE + SE) would be that the demand for the good rises when its price falls, making the good a non-Giffen good.

Therefore, an inferior good would not necessarily be a Giffen good. It may be noted here that, by definition, the demand for a Giffen good also falls when its price falls,

(iii) In this case, the answer cannot be a straight yes or no. If the demand for cigarettes rises as their prices rise, “other things” remaining constant, then, by definition, cigarettes would be Giffen goods. Here, nothing is mentioned specifically of the “other things”.

But it is most likely that, as compared to the last year, these “other things” like the tastes and habits of the consumers, the income of the buyers, the number of buyers, etc. do not remain constant.

On the contrary, they do change giving rise to a rise in the demand for cigarettes that may surpass the fall in their demand due to a rise in their prices. In that case, although apparently cigarettes may seem to be Giffen goods, they are, actually, subject to the law of demand, ie, they are not Giffen goods.

On the other hand, if the “other things” do remain constant or change in such a way that gives rise to a fall in the demand for cigarettes, even if their prices remain constant, then a rise in their demand as their prices rise, would certainly make cigarettes a Giffen good.

Example 21:

The utility function of an individual is U = L57 X 06 Y 09 where L, X and Y stand for his weekly consumption of leisure, good X and good Y.

Assuming the rate of wage to be W per hour, calculate his utility-maximising hours of leisure and work per week, the proportion of income spent on good X, the coefficient of price- elasticity of demand for good X and income-elasticity of demand for good Y.

Løsning:

The utility function of an individual is given as:

U = L57 X06 Y09 (1)

where L, X and Y stand for the quantities of weekly consumption of leisure, good X and good Y.

If the rate of wage is W per hour, then the budget constraint of the individual is

7 x 24 W = WL + P x .X + P Y .Y (2)

where 7 x 24 W = his total weekly income

P x = price of good X and

P Y = price of good Y.

In order to obtain the conditions for utility maximisation, let us construct the relevant Lagrange function:

Dividing (5) by (4), after suitably transposing terms:

Again, from (4) and (6), we have

Adding (8) and (9):

ie, the consumer should take 133 hours of leisure in a week and, therefore, he should work (168 – 133) hours or 35 hours per week.

Putting L = 133 in (2), we have

Where 35 W is his income per week, 35 hours being his amount of work per week.

The coefficient of price-elasticity of demand for X is

Therefore, from (11), we have the coefficient of price-elasticity of demand to be

So the numerical coefficient of price-elasticity of demand for X is e = 1

Lastly, the income elasticity of demand for Y is

where M stand for consumer's money income. We have obtained L = 133 and M = 35 W.

So from the budget constraint (2), we have

Therefore, from (12):

ie, the coefficient of income elasticity of demand for Y is 1.67.

Example 22:

Suppose that the consumer spends his entire income on commodities X and Y.

On the basis of his budget constraint, show that:

(a) The expenditure-share weighted sum of the income elasticities equals unity.

(b) When X and Y are neither complements nor substitutes, then the expenditure-share weighted sum of own price-elasticities equals unity with a negative sign.

Løsning:

(a) We are given that the consumer spends his entire income (M) on two goods, X (with price = p x ) and Y (with price = p Y ). That is, we have

M = p x x + p Y y (1)

From (1), taking total differential, we have

Now, by definition, the coefficient of income-elasticity of demand for goods X and Y are,, respectively,

(b) The consumer's budget constraint is

Where M = constant

Taking total differential of (5), we have

[ . . . dM = 0 and dp y = 0 in the case of price-elasticity of demand for X]

Multiplying (6) through by p x xy/M xy dpx, we obtain

where ϵ XX = coefficient of cross-elasticity of demand for X wrt p x

ϵ YX = coefficient of cross-elasticity of demand for Y wrt p x

α x = expenditure share of good X

α Y = expenditure share of good Y Again, taking total differential of (5), we have

0 = p x dx + p Y dy + ydp Y (8)

[ . . . dM = 0 and dp x = 0 in the case of price-elasticity of demand for Y]

where ϵ XY = cross-elasticity of demand for X wrt p Y

ϵ YY = elasticity of demand for Y wrt p Y .

Now, since the goods X and Y are neither substitutes nor complements, we have the cross- elasticities equal to zero, ie, ϵ XY = 0 and ϵ YX = 0. Therefore, from (7) and (9), we have

Example 23:

Derive the relations between own-and cross-price elasticities of demand for compensated demand functions.

Løsning:

Let us suppose that the utility function of the consumer is

U = f(q 1, q 2 ) (1)

Taking the total differential of utility function (1) and letting dU = 0, we have

F 1 dq 1 +f 2 dq 2 = 0 (2)

As we know, the first-order condition for utility maximisation is

Where p 1 and p 2 are the prices of the goods.

Form (2) and (3), we have

Where α 1 = expenditure-share of good Q 1

α 2 = expenditure-share of good Q 2

ξ 11 = elasticity of demand for Q 1 wrt pi for compensated demand (cd) function

ξ 21 = cross-elasticity of demand for Q 2 wrt p 1 for compensated demand function.

(5) and (6) give us the relations between own and cross price-elasticities of demand for compensated demand functions.

Adding (5) and (6), we obtain:

(7) gives us another relation between the own- and cross price-elasticities of demand for cd function. (7) gives us that the sum of the expenditure-share weighted sums of own- and cross price-elasticities of demand for the two goods for cd function is equal to zero.

Example 24:

Show that in a two-good model, the sum of expenditure-share weighted income- elasticities of the goods is equal to one.

Løsning:

In the two-good (Q 1, Q 2 ) model, the budget constraint of the consumer is:

P 1 q 1 + P 2 q 2 = y° (1)

where p 1 and p 2 are the prices of the two goods.

Taking total differential of (1) wrt y (p 1, p 2 = constant, in the case of income-elasticity of demand), we obtain:

P 1 dq 1 + p 2 dq 2 = dy (2)

Multiplying through by y/y, multiplying the first term on the left by q 1 /q 1, the second by q 2 /q 2 and dividing through by dy, we have

Equation (3) proves the given proposition.

Example 25:

The price of good X is Rs 2 for the first 200 units and Re 1 for all units purchased in excess of 200. Good Y sells at a constant price of Rs 3.

(a) Sketch the budget set for income of Rs 600.

(b) Is it possible to have more than one equilibrium?

(c) Will the consumer ever purchase exactly 200 units of X?

Løsning:

(a) The price of good Y is constant at Rs 3. Therefore, for an income of Rs 600, the y-intercept of the budget line would be 200. For the first 200 units of X, the price of X is Rs 2. Therefore, over this range (0 ≤ x ≤ 200), the numerical slope of the budget line is p X /p Y = 2/3and for the purchase of X in excess of 200 units, p x = Re 1.

Therefore, for x > 200, the numerical slope of the budget line is p X /p Y = Also, for the first 200 units of purchase of X at p x = Rs 2, the consumer spends Rs 400, and with the remaining Rs. 200 (= 600 – 400), the consumer would be able to purchase another 200 units at p x = Re 1.

That is, under the given conditions, if the consumer spends all his money (Rs 600) on good X, he would be able to purchase 400 units of the good—first 200 at p x = Rs 2 and the next 200 at p x = Re 1. With all these specifications, we have sketched the consumer's budget line AKB in Fig. 6.83. The line would have a kink at the point K because, here the line changes its numerical slope from 2/3 to 1/3. The coordinates of point K is (x = 200, y =200/3)

(b) It can be seen in Fig. 6.83 that with the budget line AKB, it is possible for an indifference curve, viz., IC to touch the budget line at two points like E and F. This is possible because of the kink at the point K.

(c) At x = 200 units or at the point K (200, 200/2), there is a kink. That is why, a convex-to- the-origin continuous IC cannot touch the budget line at this point. Therefore, the consumer can never be in equilibrium at the point K, ie, he would never purchase x = 200 units in the given case.

Example 26:

Under initial prices, the consumer is purchasing 100 units of commodity X. Government then levies an additional tax of Re 1 per unit which raises the price of X by Re 1 per unit. Not wanting to hurt the consumer, Government also gives him a Rs 100 of income subsidy.

(i) Will there be any change in the level of utility of the consumer? Explain.

(ii) Will there be any change in the demand for X compared to the initial situation (before both tax and subsidy)? Explain.

Løsning:

Let us answer the questions with the help of Fig. 6.84. Here we have assumed that the consumer buys the two goods X and Y. We have also assumed that, initially, the budget line of the consumer is L 1 M 1 and he is in equilibrium at the point E 1 where the budget line has touched one of his indifference curves, viz., IC 1 . As we are told, at E 1, the consumer buys x 1 = 100 units of good X.

Now, as the government imposes a tax of Re 1 per unit and the price of X (p x ) increases by Re 1 per unit, the price of good Y (p Y ) remaining the same, the relative price of X increases and his budget line becomes steeper. This is because the numerical slope of the budget line is equal to the ratio of p x and p Y, and, here, p x has increased.

Also, as a result of the imposition of the tax, the cost of buying x 1 = 100 units of good X increases by Rs 100, and therefore, the cost of buying the (x, y) combination, E 1 increases by the same amount. However, as the government gives the consumer an income subsidy of Rs 100, the consumer can buy the combination E 1 as before, if he so desires, even after the imposition of the tax.

This gives us that the post-tax and post-subsidy budget line of the consumer is steeper than his initial budget line, L 1 M 1 but the new budget line would pass through the point E 1 . Therefore, it would be a line like L 2 M 2, and its numerical slope would be equal to the post- tax price ratio.

We are now in a position to answer question:

(i) Although E 1 is a point on the budget line L 2 M 2, the consumer would no longer be in equilibrium at this point because E 1 is not a point of tangency. Rather, the consumer would be in equilibrium at the point E 2 where the budget line L 2 M 2 has touched one of his ICs, viz., IC 2 .

Since IC 2 is a higher curve than IC 1, the consumer's level of utility would be higher in the post-tax, post-subsidy situation. It may be noted that the line L 2 M 2 can be tangent to a higher curve only than IC 1, if the ICs are non-intersecting.

Let us now answer question:

(ii) Since the line L 2 M 2 can touch one of the non-intersecting ICs at a point like E 2 that may lie only to the north-west of E 1, the consumer, in the new situation, would buy good X in a smaller quantity. The reason is obvious.

In the post-tax, post- subsidy situation, the consumer's loss in real income has been compensated for by the subsidy (in the Slutsky sense), but since good X has become relatively dearer in the process, the substitution effect brings about a fall in his demand for X.

 

Legg Igjen Din Kommentar