Revilled Preference Theory (RPT) (Med diagram)

I denne artikkelen vil vi diskutere om den avslørte preferanssteorien (RPT) fremmet av prof. Samuelson.

Begrepet avslørt preferanse :

Professor Samuelson har oppfunnet en alternativ tilnærming til teorien om forbrukeratferd, som i prinsippet ikke krever at forbrukeren gir informasjon om seg selv.

Hvis hans smak ikke endres, tillater denne teorien, kjent som RevPT Preference Theory (RPT), oss å finne ut alt vi trenger å vite bare ved å observere hans markedsadferd, ved å se hva han kjøper til forskjellige priser, forutsatt at oppkjøpene hans og kjøpsopplevelser endrer ikke preferansemønsteret eller kjøpsønskene hans.

Gitt nok slik informasjon, er det til og med teoretisk mulig å rekonstruere forbrukerens likegyldighetskart.

Samuelsons RPT er basert på en ganske enkel idé. En forbruker vil bestemme seg for å kjøpe en bestemt kombinasjon av varer enten fordi han liker det mer enn de andre kombinasjonene som er tilgjengelige for ham, eller fordi det tilfeldigvis er billig. La oss anta at vi observerer at forbrukeren velger å kjøpe A, men ikke B. av to samlinger varer som tilbys for salg.

Vi er da ikke i stand til å konkludere med at han foretrekker A fremfor B, for det er også mulig at han kjøper A, fordi A er den billigere samlingen, og han ville faktisk vært lykkeligere hvis han fikk B. Men prisinformasjon kan være i stand til å fjerne denne usikkerheten.

Hvis prislappene deres forteller oss at A ikke er billigere enn B (eller, B ikke er dyrere enn A), så er det bare en sannsynlig forklaring på forbrukerens valg - han kjøpte A fordi han likte det bedre.

Mer generelt, hvis en forbruker kjøper en varesamling, A, snarere enn noen av de alternative samlingene B, C og D, og ​​hvis det viser seg at ingen av de sistnevnte samlingene er dyrere enn A, så sier vi at A har vært avslørt foretrukket for kombinasjonene B, C og D eller at B, C og D er blitt avslørt underordnet A.

Derfor, hvis forbrukeren kjøper kombinasjonen E1 (x 1, y 1 ) av varene X og Y og ikke kjøper kombinasjonen E2 (x 2, y 2 ) til prisene (p1 x, p1 y, ) av varene, så vil vi kunne si at han foretrekker kombinasjon E 1 til kombinasjon E 2, hvis vi får tak

Det komplette settet av kombinasjoner av varene X og Y som en bestemt kombinasjon er avslørt foretrukket, kan bli funnet ved hjelp av forbrukerens prislinje. La oss anta at forbrukerens budsjettlinje er L 1 M 1 i fig. 6.104, og det er observert at han kjøper kombinasjonen E 1 (x 1, y 1 ) som ligger på denne linjen.

Siden kostnadene for alle kombinasjonene som ligger på budsjettlinjen er de samme som for E 1 og siden kostnadene for alle kombinasjonene som ligger under og til venstre for budsjettposten er lavere enn for E 1, kan si at E 1 blir avslørt foretrukket fremfor alle kombinasjonene som ligger på eller under forbrukerens budsjettpost.

Igjen, siden kostnadene for kombinasjonene som ligger over og til høyre for budsjettposten er høyere enn for E 1, kan vi ikke si at forbrukeren foretrekker E 1 fremfor disse kombinasjonene når han blir observert å kjøpe E 1, fordi her E 1 er den billigere kombinasjonen.

Vi må merke oss forskjellen mellom "preferanse" og "avslørt preferanse". Kombinasjon A er "foretrukket" fremfor B innebærer at forbrukeren rangerer A foran B.

Men A blir "avslørt foretrukket fremfor B" betyr at A velges når B er rimelig (ikke dyrere). I vår modell av forbrukeratferd antar vi generelt at folk velger den beste kombinasjonen de har råd til at valgene de tar blir foretrukket fremfor valgene de kunne ha tatt. Det vil si at hvis (x 1 y 1 ) blir direkte avslørt foretrukket fremfor (x 2, y 2 ), er faktisk (x 1, y 1 ) foretrukket fremfor (x 2, y 2 ).

La oss nå oppgi RP-prinsippet mer formelt:

La oss anta at forbrukeren kjøper kombinasjonen (x 1, y 1 ) til det pris som er satt (p ' x, P' y ), la oss også anta at en annen kombinasjon er (x 2, y 2 ), slik at p ' x 1 + p ' y y 1 ≥ p' x x 2 + p ' y y 2 . Hvis forbrukeren nå kjøper den mest foretrukne kombinasjonen underlagt budsjettbegrensningen, vil vi si at kombinasjonen (x 1, y 1 ) er strengt foretrukket enn kombinasjonen (x 2, y 2 ).

Antagelsene :

Ved hjelp av det enkle prinsippet om RP, kan vi bygge opp en kraftig teori om forbrukernes etterspørsel. Forutsetningene vi skal gjøre her er:

(i) Forbrukeren kjøper og bruker bare to varer (X og Y). Mengdene x og y av disse varene er kontinuerlige variabler.

(ii) Begge disse varene er av MIB-type (mer-er-bedre). Denne antagelsen er også kjent som antakelsen om monotonicity. Denne antagelsen innebærer at forbrukerens IC-er er skrånende.

(iii) Forbrukerens preferanser er strengt konvekse. Denne antagelsen innebærer at forbrukerens IC-er ville være konvekse til opprinnelsen, noe som igjen innebærer at det bare er oppnådd ett poeng (poenget med tangens) på budsjettgrensen til forbrukeren som ville bli valgt av ham fremfor alt annet rimelig kombinasjoner.

Denne antagelsen er veldig viktig. På bakgrunn av denne forutsetningen skal vi oppnå en en-til-en-sammenheng mellom forbrukerens prisinntektssituasjon eller budsjettlinje og hans likevektsvalg - for en bestemt budsjettlinje for forbrukeren vil det være oppnådd én og bare en likevekt kombinasjon av varer og for en hvilken som helst kombinasjon å være en likevekt, vil det være oppnådd en og bare en budsjettpost.

(iv) Den fjerde antakelsen av RP-teorien er kjent som det svake aksiomet til RP (WARP). Her antar vi at hvis forbrukeren velger kombinasjonen E 1 (x 1, y 1 ) fremfor en annen rimelig kombinasjon E 2 (x 2, y 2 ) i en bestemt prisinntektssituasjon, ville han under ingen omstendigheter velge E 2 fremfor E 1 hvis E 1 er rimelig.

Med andre ord, hvis en kombinasjon E1 blir avslørt foretrukket fremfor E2, kan E2 under ingen omstendigheter avsløres foretrukket fremfor E1.

(v) Den femte antakelsen av RP-teorien er kjent som den sterke aksiomen til RP (SARP). I henhold til denne antakelsen, hvis forbrukeren, under forskjellige prisinntektssituasjoner, avslører kombinasjonen E 1 som foretrukket fremfor E 2, E 2 til E 3, ..., E k-1 til E k, ville E 1 bli avslørt foretrukket til E k og E k vil aldri (under ingen prisinntektssituasjon) bli avslørt foretrukket fremfor E 1 .

Avdekket preferanse — Direkte og indirekte :

Hvis RP er begrenset til kun to kombinasjoner av varer, E 1 og E 2, og hvis, i en bestemt prisinntektssituasjon, blir E 1 (x 1, y 1 ) avslørt foretrukket å kombinasjonen E2 (x 2, y2) ), så sies det at E1 blir direkte avslørt foretrukket fremfor E 2 .

Men hvis preferanser vurderes for mer enn to kombinasjoner, og hvis preferanser er etablert ved transittivitet av RP, er det et tilfelle av indirekte avslørt preferanse. For eksempel, hvis E1 blir avslørt foretrukket fremfor E 2, ..., E k-1 til Ek, så av SARP, sier vi at E 1 indirekte blir avslørt foretrukket fremfor Ek .

Brudd på WARP :

La oss se på fig. 6.105. La oss anta at forbrukeren kjøper kombinasjonen E 1 (x 1, y 1 ) under prisinntektssituasjonen som er representert ved budsjettlinjen L 1 M 1, og han avslører kombinasjonen E 1 (x 1 y 1 ) som foretrukket E 2 (x 2, y 2 ).

For her velger han E 1 fremfor den rimelige kombinasjonen E 2 . La oss anta at når forbrukerens budsjettlinje endres fra L 1 M 1 til L 2 M 2, kjøper forbrukeren kombinasjonen E 2 (x 2, y 2 ), selv om han kunne ha oppnådd den rimelige kombinasjonen E 1 (x 1, y 1 ), dvs. under L2M2, avsløres E2 foretrukket fremfor El.

Det vi har sett her er at under budsjettlinjen, L 1 M 1, blir kombinasjonen E1 avslørt foretrukket fremfor E 2 og under en annen budsjettpost L 2 M 2, avsløres E 2 foretrukket fremfor E 1 . Det er klart, forbrukeren her bryter med WARP.

Årsaken til dette bruddet kan være at forbrukeren her ikke prøver å oppnå den mest foretrukne kombinasjonen underlagt budsjettbegrensningen; eller det kan være at hans smak eller et annet element i det økonomiske miljøet hans har endret seg, noe som burde vært uendret etter våre forutsetninger.

Uansett hva som kan være årsaken til bruddet på WARP, er ikke dette bruddet i samsvar med modellen for forbrukeratferd som vi diskuterer.

Modellen antar at forbrukeren ønsker å maksimere sitt tilfredshetsnivå, og at det er grunnen til at når han velger en bestemt kombinasjon, si E 1 underlagt budsjettet, må det være den mest 'foretrukne' fremfor alle andre rimelige kombinasjoner, og ingen av disse "andre" kombinasjonene kan "foretrekkes" fremfor E 1 under et annet budsjett. WARP legger vekt på dette enkle, men viktige poenget. Vi kan gi den formelle uttalelsen fra WARP på følgende måte.

Hvis en bestemt kombinasjon E1 (x 1 y 1 ) blir direkte avslørt av forbrukeren som foretrukket fremfor en annen kombinasjon E2 (x 2, y 2 ), vil E 2 aldri bli avslørt av forbrukeren som foretrukket fremfor El.

Med andre ord, hvis forbrukeren blir observert å kjøpe E 1 (x 1, y 1 ) til det pris som er satt (p x (1), p y (1)) og E 2 (x 2, y 2 ) til prisen sett (p x (1), p y (2)), så hvis (6.138) nedenfor holder, må (6.139) aldri holde:

Som vi har sett, har WARP blitt brutt i figur 6.105, når forbrukeren kjøper kombinasjon E 1 på L 1 M 1 og E 2 på L 2 M 2 . Her brytes preferansebestillingen til forbrukeren. Det kan bekreftes i fig. 6.105 at IC-tangenten til L 1 M 1 ved El og IC-tangenten til L 2 M 2 ved E 2 ikke kan være ikke-kryssende i dette tilfellet.

I fig. 6.106, derimot, la oss anta at forbrukeren kjøper kombinasjonen E1 på L 1 M 1 og kombinasjonen E 2 på L 2 M 2 . Her når han kjøper E 1, velger han E 1 fremfor den rimelige kombinasjonen E 2, dvs. at E 1 blir avslørt foretrukket fremfor E 2 . Men når han kjøper E 2, velger han E 2 fremfor en uoverkommelig E1, dvs. E2 blir ikke avslørt foretrukket fremfor E 1 .

Derfor blir WARP her ikke krenket, og her brytes ikke preferansebestillingen til forbrukeren. Det kan sees i fig. 6.106 at IC-tangenten til L 1 M 1 ved El og IC-tangenten til L 2 M 2 ved E 2 vil være ikke-kryssende.

Betydningen av SARP :

La oss nå diskutere betydningen av den sterke aksiom av avslørt preferanse (SARP). I henhold til dette aksiomet, hvis forbrukeren avslører en kombinasjon E1 (x 1, y 1 ) som foretrukket fremfor en annen kombinasjon E2 (x 2, y 2 ), og hvis E2 (x 2, y 2 ) blir avslørt foretrukket for E 3 (x 3, y 3 ) da E, vil alltid bli avslørt foretrukket fremfor E 3 .

Dette kan kalles transitivitet av avslørte preferanser. Nå, hvis forbrukeren er en nytte-maksimerende en, vil transittiviteten til avslørte preferanser føre til transitivitet av preferanser - hvis E1 er foretrukket fremfor E 2 og E 2 til E 3, vil E 1 være foretrukket fremfor E 3 .

Men dette er nødvendig for å sikre at IC-ene ikke krysser hverandre og at de ikke-interessante IC-ene er nødvendige for å komme til den verktøyet som maksimerer løsningen. Det er tydelig at hvis noe av WARP og SARP krenkes, kan ikke forbrukeren oppnå bruksmaksimering.

Avslørt preferanse teori og Slutsky teorem :

La oss nå se hvordan RPT kan brukes til å bevise Slutsky-teoremet som sier at hvis inntektseffekten (IE) for en vare blir ignorert, må dens etterspørselskurve ha en negativ helning. For å forklare dette, skal vi ta hjelp av fig. 6.107.

I dette tallet, la E 1 (x 1, y 1 ) representere kombinasjonen av varer som forbrukeren først kjøper når budsjettgrensen hans er L 1 M 1 . Vi vil her vise at et ceteris paribus-fall i prisen på god X fra L 1 M 1 vil øke kjøpet av varene hvis vi ignorerer inntektseffekten, dvs. hvis vi bare vurderer substitusjonseffekten (SE).

La oss anta at den imaginære budsjettposten for Slutsky-SE er L 2 M 2 . Denne linjen vil være flatere enn L 1 M 1, siden prisen på X har falt, ceteris paribus, og denne linjen (L 2 M 2 ) vil passere gjennom kombinasjonen E, slik at forbrukeren i henhold til Slutsky-tilstanden kunne kjøpe den opprinnelige kombinasjonen, hvis han vil, under de endrede omstendighetene.

La oss nå se, på grunn av SE, det punktet som forbrukeren kan velge på den imaginære budsjettlinjen L 2 M 2 (hvis den skal være forskjellig fra E), ville være et punkt som E 2 til høyre for punktet E 1 . For å bevise at dette må være slik, må vi merke oss at valg av hvilket som helst punkt på L 2 M 2 som E 3 som ligger til venstre for E 1, utelukkes av WARP.

Dette er fordi E1 i utgangspunktet er blitt avslørt foretrukket fremfor E 3, siden E3 ligger under L 1 M 1 . Men hvis E 3 ble valgt da prislinjen var L 2 M 2, blir den (E 3 ) avslørt foretrukket fremfor E 1 siden E 1 ikke er dyrere enn E 3 (for de ligger begge på samme budsjettlinje L 2 M 2 ). I så fall oppnår vi at E 1 blir avslørt foretrukket fremfor E 3, og omvendt, som bryter med WARP.

Dermed kan ikke noe poeng på L 2 M 2 som i likhet med E 3 ligger til venstre for E 1 velges. På den annen side, hvis forbrukeren velger et punkt som E 2 på L 2 M 2 til høyre for E 1, er det ingen skade på det svake aksiomet, fordi når han kjøper E 2, blir E 2 avslørt foretrukket fremfor ikke-dyrere kombinasjon E 1, men til å begynne med, da han kjøpte E 1 (på L 1 M 1 ) og ikke et poeng som E 2, gjorde han dette, fordi E 1 var billigere enn disse poengene.

Fra analysen er det klart at SE om et fall i prisen på X generelt vil øke etterspørselen etter den relativt billigere varen X på et punkt som E 2 til høyre for E 1 . Dermed trekkes Slutsky-teoremet ut fra den avslørte preferansetilnærmingen.

Vi har sett at hvis prisen på X faller, ceteris paribus, og hvis inntektseffekten av dette prisfallet blir ignorert, så ville SE øke økningen i etterspørselen etter X, dvs. at etterspørselskurven for X ville bli negativt skrånende, og lov om etterspørsel oppnås.

Fra avslørt preferanse til preferanse:

Prinsippet om avslørt preferanse (RP) er ganske enkelt, men samtidig er det veldig kraftig. Støttet av antagelsene vi har gjort, gjør RPT oss i stand til å skaffe forbrukerens preferansemønster eller likegyldighetskurver (IC) fra hans avslørte preferanser.

Ingen introspektiv data kreves fra forbrukeren for å oppnå denne oppgaven. Hvis vi kjenner prisinntektssituasjonen til forbrukeren som representert ved budsjettposten hans og hans poeng med avslørt preferanse på linjen, ville vi være i stand til å utlede hans IC som går gjennom dette punktet. Prosessen for å oppnå IC er beskrevet nedenfor.

La oss anta at budsjettgrensen til forbrukeren er L 1 M 1 i fig. 6.108 og kombinasjonen av varene som forbrukeren observeres å kjøpe, er E 1 (x 1, y 1 ). Som vi vet foretrekker forbrukeren punkt E, direkte overfor alle andre punkter på budsjettposten eller i området OL 1 M 1 . For til tross for at alle disse punktene er innenfor budsjettet, kjøper han E 1 . “Alle disse punktene” anses å være “verre” enn E 1 .

På den annen side er kostnadene for alle kombinasjonene til høyre for budsjettposten L 1 M 1 mer enn for punktet E 1, eller, E 1 er billigere enn disse punktene. Tilsynelatende velger forbrukeren E 1 fremfor disse punktene fordi de er dyrere, og vi kan ikke si noe om den 'avslørte' preferansen til E 1 til noen av disse punktene.

Derfor er området i handelsområdet til høyre for L 1 M 1 kjent som uvitenhetsområdet. Vi vil imidlertid se, ved hjelp av forutsetningene fra RPT, at noen av punktene i uvitenhetens område er direkte eller indirekte foretrukket eller dårligere enn E 1, og noen av punktene er likegyldige med E 1 .

Disse sistnevnte punktene som er likegyldige med E 1, gir oss likegyldighetskurven (IC) som går gjennom E 1. La oss nå se hvordan vi kan utlede denne kurven.

La oss først vurdere området K 1 E 1 B 1 . Varekombinasjonene (unntatt E1) som tilhører dette området er direkte å foretrekke for forbrukeren fremfor E1, siden alle disse kombinasjonene har mer av en eller begge varene enn punktet E 1 . Disse kombinasjonene kan kalles "bedre" kombinasjoner.

Så langt har vi oppnådd at forbrukeren direkte foretrekker E 1 til punktene til venstre for budsjettposten L 1 M 1, dvs. de som ligger i området OL 1 M 1, og han foretrekker direkte punktene som ligger i området K 1 E 1 B 1 til E 1 . Derfor ville hans IC gjennom punktet E 1, hvis det oppnås, være spredt i rommet mellom disse to områdene, og det vil berøre linjen L 1 M 1 og området K 1 E 1 B 1 på punktet E 1 .

La oss nå vurdere punktene i uvitenhetsområdet som ligger over linjen L 1 M 1 og utenfor området K 1 E 1 B 1 . Til å begynne med skal vi prøve å identifisere poengene som forbrukeren foretrekker mindre enn E 1 - disse poengene kan kalles “dårligere” poeng. For å gjøre dette, la oss vurdere ethvert punkt E 2 som ligger på L 1 M 1 til høyre for E 1 .

La oss anta at forbrukeren blir observert å kjøpe E 2 når budsjettposten hans er L 2 M 2 . Han avslører derfor punktet E 2 som foretrukket fremfor punktene til venstre for budsjettposten L 2 M 2 . Siden E 1 allerede er blitt avslørt foretrukket fremfor E 2, foretrekker forbrukeren E 1 fremfor alle disse punktene som ligger i området OL 2 M 2 .

Siden en del av dette området, dvs. □ OL 2 E 2 M 1, tilhører området OL 1 M 1, oppnås her økningen i området med “dårligere” poeng å være □ E 2 M 1 M 2 . Forbrukeren foretrekker E 1 indirekte på punktene i dette området gjennom kombinasjonen E 2 - han foretrekker E 1 til E 2 og E 2 fremfor disse punktene.

Vi kan igjen øke området med "dårligere" punkter til høyre for E 1 ved å vurdere ethvert annet punkt E 3 som ligger på linjen L 1 M 1 til høyre for E 2 . La oss anta at forbrukeren kjøper E 3 når budsjettposten er L 3 M 3 . Det vil si at han avslører punktet E 3 som foretrukket fremfor punktene som ligger i området OL 3 M 3 .

Igjen, siden E 1 allerede har blitt avslørt foretrukket fremfor E 3, kan han sies å foretrekke E 1 fremfor disse punktene i området OL 3 M 3 . Her har netto økningen i området med poeng som er dårligere enn E 1 vært □ SM 2 M 3 . Forbrukeren foretrekker E 1 indirekte (gjennom punktet E 3 ) fremfor punktene i □ SM 2 M 3 .

Så langt har vi sett hvordan vi kan minske uvitenhetsområdet ved å vurdere punktene på budsjettposten L 1 M 1 til høyre for E 1 . Vi kan også gjøre denne jobben ved å vurdere poeng på L 1 M 1 til venstre for E 1 . La oss anta at E 4 er et hvilket som helst punkt på L 1 M 1 til venstre for E 1, og forbrukeren blir observert å kjøpe E 4 når budsjettposten hans er L 4 M 4 .

Punktet E 4 blir derfor avslørt foretrukket fremfor punktene som ligger i området OL 4 M 4 . Men punktet E 1 er allerede avslørt, foretrukket punkt E 4, og derfor foretrekker forbrukeren E 1 fremfor disse punktene. Hvis vi her utelater den vanlige delen av områdene OL 1 M 1 og OL 4 M 4, får vi at forbrukeren indirekte foretrekker E 1 fremfor punktene til □ E 4 L 1 L 4 .

Derfor har vi nå kunnet redusere uvitenhetsområdet med □ E 4 L 1 L 4 . Vi kan på denne måten fortsette å redusere uvitenhetsområdet ved å vurdere flere punkter på L 1 M 1 som ligger til venstre for punktet E 1 .

Så langt har vi redusert uvitenhetens område ved å øke området med "dårligere" kombinasjoner. Vi kan nå se hvordan vi kan øke området med "bedre" kombinasjoner utenfor området K 1 E 1 B 1 og dermed redusere uvitenhetsområdet ytterligere. La oss anta at forbrukeren observeres å kjøpe punktet E 5 når budsjettposten hans er G 1 E 1 H 1 .

Her vil forbrukeren foretrekke alle punktene i området K 2 E 5 B 2 frem til punktet E 5, siden disse punktene har flere av enten en eller begge varene. Nå avsløres det også at forbrukeren foretrekker E 5 fremfor E 1, for han velger E 5 fremfor rimelig E 1 . Derfor får vi det her at punktene som ligger i området K 2 E 5 B 2 er “bedre” enn punktet E 1 .

Hvis vi her utelater delen av □ K 2 E 5 B 2 som er felles med □ K 1 E 1 B 1, finner vi ut at det har vært en netto økning i området "bedre" poeng og netto reduksjon i uvitenhetens område - denne netto økningen er representert av området som ligger mellom linjene K 2 E 5, K 1 T og E 5 T.

Igjen, på grunn av våre antagelser om konveks preferanse og MIB, vil forbrukeren foretrekke punktene i □ E 1 E 5 T til E 1 . Derfor blir dette området også lagt til området med "bedre" kombinasjoner, og uvitenhetsområdet reduseres tilsvarende. Vi kan fortsette å øke området med "bedre" kombinasjoner på denne måten. For eksempel blir forbrukeren observert å kjøpe punktet E 6 på budsjettposten G 2 E 1 H 2 .

Her vil vi finne at området med de "bedre" punktene får en økning av området mellom linjene RB 1 RE 6 ogE 6 B 3 pluss området E 1 E 6 R. Derfor er disse områdene også lagt til området av "bedre" kombinasjoner og uvitenhetsområdet reduseres tilsvarende.

I fig. 6.108 har vi sett at vi på bakgrunn av ideen om avslørt preferanse og ved hjelp av antagelsene vi kan gjøre, fortsetter å øke området til kombinasjonene som er "verre" enn en bestemt kombinasjon E 1 nedenfra og vi kan også fortsette å øke området for kombinasjonene som er “bedre” enn E 1 ovenfra.

I grensen vil området mellom disse to områdene reduseres til en likegyldighetskurve. Ved å bruke de avanserte beregningsmetodene og også intuitivt, kan vi oppnå at denne likegyldighetskurven til forbrukeren ville passere gjennom punktet E 1, vil ligge mellom de to banene som K 2 E 5 E 1 E 6 B 3 og L 4 E 4 E, E 2 SM 3 og vil være konveks til opprinnelsen.

Vi har sett hvordan vi kan få en forbrukeres IC gjennom en hvilken som helst spesiell kombinasjon E 1 . Ved å bruke den samme prosessen, kan vi få tak i hans IC gjennom et hvilket som helst annet punkt i handelsområdet, dvs. vi ville oppnå likegyldighetskartet hans.

La oss nå se med hjelp av fig. 6.109, hvordan vi intuitivt kan konkludere med at grensen mellom områdene med "bedre" og "dårligere" kombinasjoner enn noe punkt E 1 er en IC gjennom dette punktet.

I fig. 6.109 har vi representert at områdene med bedre og dårligere kombinasjoner enn El er blitt gjort for å avansere mot hverandre, og i grensen ser gapet mellom dem ut som en IC, og faktisk ville det være en IC som passerer gjennom E 1 Vi kan forstå dette på følgende måte.

La oss bevege oss vertikalt fra et punkt til et annet i handelsrommet på fig. 6.109 fra et hvilket som helst punkt som N, (x °, y 1 ) i området med dårligere kombinasjoner. Når vi beveger oss oppover vertikalt, forblir mengden av god X den samme på x 0 og mengden av god Y øker, og til slutt, veldig nær grensen til det "dårligere" området, skal vi ankomme et punkt som N 2 (x °, y 2 ).

La oss anta at hvis vi fremdeles beveger oss oppover litt utenfor N2, vil vi komme til et punkt N 3 (x °, y 3 ) i området med "bedre" kombinasjoner. Nå kan vi lett forstå intuitivt at det ligger et punkt N * (x 0, y *), y 2 <y * <y 3, i det uendelig liten vertikale gapet mellom punktene N 2 og N 3 som verken er verre eller bedre enn E 1, men som er likegyldig med E 1 .

Derfor, hvis vi går sammen med punktene E 1 og punktene som N * ved en kurve, vil vi oppnå den nødvendige IC til og med E 1 .

Likegyldighetskurve, avslørt preferanse og levekostnadsindeks :

La oss først vurdere to prisindeksformler. Den ene er Laspeyres formel og den andre er Paasches formel. Laspeyres prisindeksnummer er forholdet mellom to aggregater - samlet pris på inneværende år ved mengder av basisår og fra grunnårspriser ved mengder av basisår. La oss anta at en person kjøper to varer.

Grunnåret og inneværende års priser på varene er p 01, p 02 og p t1, p t2 . Også basisår og inneværende års mengder av varene som kjøpes av forbrukeren er q 01, q 02 og q t1, q t2 . Da ville Laspeyres prisindeks blitt

Her er basisårsmengdene av varene tatt som vekter av sine priser. L gir oss prisindeksen i inneværende år hvis basisårets prisindeks er 1. Hvis for eksempel L = 1, 5, får vi at prisindeksen for inneværende år er 1, 5 når basisårets prisindeks er 1, dvs. prisene i inneværende år er 50 prosent flere enn i basisåret.

Laspeyers prisindeks kan tolkes på en annen måte. Telleren på høyre side av (6.140) gir oss kostnadene for basisårskurven med varer (q 01, q 02 ) til gjeldende årspriser (p t1, p t2 ), og nevneren gir oss kostnadene for kjøpe den samme handlekurven til basisårsprisene (p 01, p 02 ).

Ser vi på denne måten, gir L = 1, 5 oss at kostnadene for å kjøpe basisårskurven med varer har økt med 50 prosent det inneværende året i løpet av basisåret. Det vil si at Laspeyres prisindeksnummer L også kan betraktes som Laspeyres levekostnadsindeksnummer.

La oss nå komme til Paasches prisindeksnummer, som er forholdet mellom det samlede priset på inneværende år og inneværende års mengder og det for grunnårsprisene på inneværende årsmengder. Derfor skaffer vi Paasches prisindeksnummer som

Her er inneværende år mengder av varer tatt som vekten av prisene. Akkurat som Laspeyres prisindeksnummer, kan Paasches prisindeksnummer også betraktes som Paaschees levekostnadsindeksnummer. Det gir oss den prosentvise økningen i kostnadene for å kjøpe inneværende års varekurv i inneværende år over basisåret.

La oss nå komme til forbrukerens totale utgifter i basisåret og inneværende år. I basisåret er hans totale utgifter, for eksempel, E 0, og han kjøper mengdene q 01 og q 02 til prisene p 01 og p 02 . Derfor er budsjettposten hans i basisåret

E 0 = p 01 q 01 + p 02 q 02 (6.142)

Tilsvarende, i inneværende år, er hans totale utgifter, for eksempel, E t, og han kjøper mengdene q ti og q t2 til prisene p t1 og p t2 . Derfor er budsjettposten hans i inneværende år

E t = p t1 q t1 + p t2 q t2 (6.143)

Siden det antas at utgiftene tilsvarer inntekten, gir E t / E 0 oss indeksen for endring i forbrukerens inntekt i inneværende år over basisåret. Det vil si at indeksen for endring av pengeinntekter er

Dette betyr at kostnadene for basisårskurven til gjeldende årspriser er mindre enn inneværende års utgifter. Med andre ord, i inneværende år kan forbrukeren kjøpe basisårskurven, hvis han ønsket det, men han valgte å ikke kjøpe denne kurven. Dette betyr at han foretrekker den aktuelle årskurven fremfor basisårskurven, det vil si at han har det bedre i inneværende år enn i basisåret.

Å dele begge sider av ulikhet (6.145) med E 0, får vi

Derfor (6.145) som antyder (6.146) gir oss betingelsen for at forbrukeren skal ha det bedre i den aktuelle perioden over basisperioden. La oss nå vurdere følgende sak:

Dette betyr at kostnadene for inneværende års bunt til basisårsprisene er mindre enn basisårets utgifter. Dette innebærer at forbrukeren kan ha kjøpt inneværende årskurv i basisåret, men han valgte å ikke kjøpe denne kurven.

Dermed foretrakk han basisårskurven og hadde det bedre i basisperioden i løpet av inneværende periode. Han er med andre ord dårligere i inneværende år enn i basisåret. Deler begge sider av (6.147) av E t vi har

Derfor (6.147) som antyder (6.148) gir oss betingelsen for at forbrukeren skal ha det bedre i basisperioden, eller, verre, i den nåværende perioden.

Fra (6.149) som tilsier (6.150), oppnår vi at kostnadene for basisårskurven til gjeldende årspriser er større enn inneværende års utgifter. Derfor er basisårskurven ikke tilgjengelig for forbrukeren i inneværende år.

Det vil si at han kjøper den gjeldende årskurven ikke fordi han foretrekker den fremfor basisårskurven, men fordi den er billigere. Derfor kan vi ikke si at forbrukeren har det bedre i inneværende år over basisåret.

Tilsvarende, hvis vi antar:

Fra (6.151) som tilsier (6.152), oppnår vi at kostnadene for inneværende årskurv i basisåret er større enn basisårets inntekt. Derfor kjøper forbrukeren basisårskurven i basisåret ikke fordi han foretrekker den, men fordi den er billigere enn den nåværende årskurven. Derfor kan vi her ikke si at han har det bedre i basisåret i løpet av inneværende år, eller, dårligere, i inneværende år over basisåret.

Det vi har oppnådd ovenfor, er at hvis E> L gitt etter betingelse (6.146), er det bedre med forbrukeren i inneværende år over basisåret. På den annen side, hvis E <P som gitt av (6.148), har forbrukeren det bedre i basisåret enn i inneværende år.

Vi kan bruke likegyldighetskurvene til forbrukeren for å illustrere disse punktene. Fig. 6.110 illustrerer det første tilfellet, det vil si at forbrukeren har det bedre i inneværende år enn i basisåret.

Her, i inneværende år, kjøper forbrukeren på punktet C t på inneværende års budsjettlinje, og han kjøper i basisåret på punktet C 0 på basisårets budsjettlinje. Det er vist i fig. 6.110 at Ct ligger på den høyere IC, dvs. IC, og C 0 ligger på den nedre IC, dvs. IC 1 .

Tilsvarende illustrerer fig. 6.111 den andre saken, det vil si at forbrukeren har det bedre i basisåret enn i inneværende år. Det sees i denne fig. At C0 som ligger på budsjettåret for budsjettåret, er plassert på en høyere IC, nemlig IC, og C t som ligger på budsjettåret for inneværende år, er plassert på en lavere IC, dvs. ., IC 1 .

Fra analysen ovenfor, spesielt fra ulikhetene (6.146), (6.148), (6.150) og (6.152), kan vi skille mellom fire tilfeller:

(i) E er større enn både L og P (E> L, E> P). Her av (6.146), dvs. E> L, har forbrukeren det bedre i løpet av inneværende år over basisåret. På den annen side, med (6.152), dvs. E> P, faller ikke levestandarden i inneværende år. Derfor er den enkelte definitivt bedre i den aktuelle perioden.

(ii) E er mindre enn både P og L (E <P, E <L). Her følger det fra (6.148) at hvis E <P, ville forbrukeren hatt det bedre i basisåret, og det følger av (6.150) at hvis E <L, ville forbrukeren ikke ha det bedre i inneværende periode. Igjen får vi et utvetydig svar om at hvis E <P og E <L, ville forbrukeren ha det bedre i basisperioden, dvs. at hans levestandard faller i den nåværende perioden fra hva den var i basisperioden.

(iii) L> E> P. Hvis L> E, eller, EP, så innen (6.152), kan vi ikke si at han ville ha det bedre i basisåret. I dette tilfellet kan følgelig ingen konkret konklusjon trekkes for forbedring eller forringelse av forbrukerens levestandard mellom de to periodene.

(iv) P> E> L. Hvis P> E, eller, EL, da med (6.146), øker forbrukerens levestandard i inneværende år, siden han foretrekker den aktuelle årskurven fremfor basisåret.

Derfor kan vi også i dette tilfellet ikke trekke noen konkret konklusjon angående en endring i forbrukerens velferd, og dette er situasjonen der det svake aksiomet til den avslørte preferanseteorien har blitt krenket.

Denne situasjonen er illustrert i fig. 6.112. Here the base period budget line is P 0 P' 0 and the current period budget line is P 1 P' 1 . Let us suppose that the consumer chose R (q 01, q 02 ) on IC 1 when the budget line was P 0 P 0 'and T (q t1, q t2 ) on IC 2 when the budget line was P 1 P 1 '. Since LL' lies below P 1 P 1 ' and is parallel to it and since R is on LL' and T is on P 1 P 1 ', it must be true that expenditure at R at (p t1, p t2 ) must be less than that at T at (p t1, p t2 ), ie, we would have

Also, since the point T (q t1, q t2 ) is on MM' which is parallel to p 0 p 0 but lies below it, T has the same prices as p 0 p 0 ' but has less expenditure than the point R (q 01, q 02 ) which lies on P 0 P 0 ', ie, we have

Thus, we have P > E > L. But in this case, there is inconsistency. This is also obvious from Fig. 6.112. The consumer could have purchased T in the base period, since T lies below the base period budget line p 0 p 0 ', but he actually chose R, implying that he prefers R to T.

But in the current period, he could have had R, since R lies below the current period budget line P 1 P 1 ', but he chose T, implying that he prefers T to R.

This is inconsistent if his tastes remain unchanged between the base period and the current period, and the weak axiom of revealed preference is not complied with. This inconsistency is also reflected in the fact that the ICs through R and T, viz., IC 1 and IC 2, have not been obtained to be non-intersecting—they have intersected at the point S.

We have seen, therefore, that it is sometimes possible to determine whether the consumer's standard of living has increased or decreased by means of index number comparisons. However, there may be situations where we cannot arrive at any definite conclusions or where the results may be contradictory.

Example 1 :

When two commodity baskets are purchased by the consumer at two different points in time, explain how price weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference.

Løsning:

We have to explain how price-weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference. Let us suppose that in the base period '0', a consumer is observed to purchase the combination q 0 (q 01, q 02 ) of two goods Q 1 and Q 2 at the price set p 0 (p 01, p 02 ) and in the current period 't' he is observed to purchase the combination q t (q t1, q t2 ) of the goods at the price set p t (p t1, p t2 ).

Therefore, the costs of purchasing the combination q 0 at the price set p 0 and p t are

Again, the costs of purchasing the combination q t at the price set p 0 and p t are

In the base period, the consumer purchases the quantity set q 0 at the price set p 0 . If he happens to prefer q 0 to q t, then by definition, the cost of the quantity set q 02 must be less than, or, (at most) equal to that of purchasing q 0 at p 0, ie,

Since the left-hand side of (5) is, by definition, the Laspeyre's base year price weighted quantity index (L), we obtain the condition for q 0 at p 0 to be preferred by the consumer to q 0 at p 0 as

L ≤100 (6)

Again, in the current period, the consumer is observed to purchase the combination q t at price p t . However, if the weak axiom of revealed preference is to be satisfied then he must not prefer q t at p t to q 0 at p t . Therefore, we may conclude that he purchases q in the current period because it is cheaper than q 0, ie,

Since the left-hand side of (7) is by definition the Paasche's current year price weighted quantity index (P), we obtain the condition for p t at q t to be cheaper than p 0 at q t as

P < 100 (8)

(6) and (8) give us that the weak axiom of revealed preference would be satisfied if the Laspeyre's and Passche's quantity indices both are less than 100. Of course, L may be at most 100. Here 100 is the base period index numbers for both the formulas.

Eksempel 2:

A consumer is observed to purchase x 1 = 20, x 2 = 10 at the prices p 1 = 2 and p 2 = 6. He is also observed to purchase x 1 = 18 and x 2 = 4 at the prices p 1 = 3 and p 2 = 5. Is his behaviour consistent with the weak axiom of revealed preference?

Løsning:

From the given data, we obtain:

(i) The cost of the combination (x 1 = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 1 = 20×2 + 10×6 = 100

(ii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 2 = 18×2 + 4×6 = 60

(iii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 3 = 18×3 + 4×5 = 74

(iv) The cost of (x, = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 4 = 20×3 + 10×5= 110

From above, it is obtained that the consumer buys the first set of goods, (20, 10), not because it is cheaper than the second set but because he prefers it to the second set, since the cost of the former, E 1 = 100, is greater than the cost of the latter, ie, E 2 = 60.

However, when he purchases the second set, not the first one, at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5), he does this because it is cheaper than the first set, not because he prefers this set to the first set, since the cost of the second set, ie, E 3 = 74, is less than that of the first set, ie, E 4 = 110.

Therefore, the consumer's behaviour is consistent with the weak axiom of revealed preference.

Convexity and Concavity :

Convex and Concave Functions :

Let us refer to Fig. 6.113. A function f (x) represented by the curve ABCDE, is convex over the interval (a, b) if we have

In Fig. 6.113, point S has divided the line segment BD in the ratio 1 – λ: λ. Therefore, the x and y coordinates of point S are

OT = λx 1, +(1 -λ)x 2

and ST = λf(x 1 ) + (1 -λ)f(x 2 )

The function f(x) is said to be strictly convex over the interval (a, b) if strict inequality holds in (6.153) for all 0 < λ < 1.

Let us again refer to Fig. 6.113. A function f(x), now represented by the curve FBGDH is concave over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≥ λf(x 1 ) + (1 – λ)f(x 2 ) (6.154)

and the function is strictly concave if strict inequality holds in (6.154) for 0 < λ < 1.

Quasi-convex and Quasi-Concave Functions:

By definition, a function f(x) is quasi-convex over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≤ max [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.155)

for all x 1 and x 2 in the interval and all 0 ≤ λ ≤ 1. The function f(x) is strictly quasi-convex if strict inequality holds in (6.155) for 0 < λ < 1.

In Fig. 6.114, the curve A'BC'DE' represents, by definition, a quasi-convex function over the interval (a, b).

Let us now come to quasi-concavity. A function f(x) is quasi-concave over an interval (a, b) if we have

f[λx 1 + (1 – 1 )x 2 ] ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.156)

for all x 1 and x 2 in the interval (a, b) and for all 0 ≤ λ ≤ 1. The function is strictly quasi-concave if strict inequality holds in (6.156) for 0 < λ < 1. In Fig. 6.114, the curve F'BG'DH' represents, by definition, a quasi-concave function over the interval (a, b).

At the end of our discussion of convex and concave curves, let us note that, as per the definitions, a convex function is also quasi-convex for the former also satisfies (6.155), but a quasi-convex function cannot be a convex function for it does not satisfy (6.153). Similarly, a concave function is also quasi-concave for it satisfies also (6.156), but a quasi-concave function cannot be concave for it does not satisfy (6.154).

Geometrical Illustrations :

From our discussions above we obtain the following with illustrations in Fig. 6.113:

(i) The curve, ABCDE, representing a function, f (x), is convex over a certain interval (a, b) if the line segment, BD, joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or above the curve; and if the line segment lies throughout above the curve, it is said that the function is strictly convex.

(ii) On the other hand, a function f(x), viz., FGDH, is concave over a certain interval (a, b) if the line segment joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or below the curve; and if the line segment lies throughout below the curve, it is said that the function is strictly concave.

We also obtain the following with illustrations in Fig. 6.114.

(iii) A function f(x), viz., A'BC'DE', is quasi-convex over a certain range between x = a and x = b, if at any x = h in the range, we have f(h) ≤ max [f(a), f(b)], and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-convex.

It may be noted that a convex function is also quasi-convex, but a quasi-convex function cannot be convex, for some quasi-convex functions, like A'BC'DE', may lie above the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a convex function cannot.

(iv) Lastly, a function f(x), like F'BG'DH', is quasi-concave over a certain range between x = x 1 and x = x 2, if at any x = h in the range, we have f(h) ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )]; and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-concave. It may be noted here that a concave function is also quasi-concave.

But a quasi-concave function cannot be concave, for some quasi-concave functions, like F'BG'DH', may lie below the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a concave function cannot.

Utility Function for Strictly Convex Indifference Curves :

Our question here is what types of utility function will produce strictly convex indifference curves (ICs) and thus satisfy the second-order condition. Two functions that may be accepted as such utility functions have been shown in Fig. 6.115. Part (a) of the Fig. 6.115 gives us a smooth strictly concave function.

Because of the assumption of positive marginal utilities, we have only shown the ascending portion of the dome-shaped surface. When this surface is cut with a plane parallel to the xy-plane, we obtain for each such cut a curve which will become a strictly convex downward sloping IC with respect to the xy-plane.

Strict concavity in a smooth utility function is, therefore, sufficient to fulfill the second-order condition (SOC) for utility-maximisation. However, if we examine part (b) of Fig. 6.115, it would be evident that strict concavity is not necessary for the SOC. This is because the strictly convex ICs can also be obtained from the utility function given in part (b) of the figure, which is not strictly concave—in fact, not even concave.

The function in Fig. 6.115 is generally shaped like a bell. Of course, we have shown here only the ascending portion of the bell. The surface of this function is called strictly quasi-concave.

The geometric property of this function is that, for any pair of distinct points u and v in its domain, if the line segment uv (which is assumed to lie entirely in the domain) gives rise to the arc MN on the surface, and if M is lower than or equal in height to N, then all the points on arc MN other than M and N must be higher than M.

[Algebraically, a function f is said to be strictly quasi-concave if, for any two distinct points in its domain like u and v, and for all values of λ, 0 < λ < 1, we would have:

The quasi-concavity of the function in Fig. 6.115 may be verified by examining such arcs as MN (N higher than M) and M'N' (M' and N' being of equal height). We have to note here that in the case of arc M'N', it is the dotted arch that lies directly above the line segment u V, not the solid curve, which possesses the property of a quasi-concave function.

The interesting thing, however, is that the strictly concave function in Fig. 6.115(a) is also strictly quasi-concave.

From what we have obtained, we may conclude that only a smooth, increasing, strictly quasi-concave utility function would generate strictly convex ICs. Such a function may have convex as well as concave portions, as shown in Fig. 6.115(b) so that the marginal utilities may be either increasing or diminishing.

From this it follows that strict convexity of ICs does not imply diminishing MUs. However, if we accept the stronger assumption of a strictly concave utility function, then we may have the features of both diminishing MU and strictly convex ICs at the same time.

 

Legg Igjen Din Kommentar