Egenskaper for den indirekte nyttefunksjonen | Inntekt | Forbruker | Økonomi

Verktøyet til x kan skrives som u (x). Det er kontinuerlig og strengt økende på Rn + . Det er seks egenskaper for den indirekte nyttefunksjonen.

Slike egenskaper forklares sammen med bevis som følger:

Eiendom 1:

Kontinuerlig på Rn ++ * R + :

Bevis:

Nytten av x, u (x) er en kontinuerlig funksjon. Det kan være endringen i inntekt og pris. Prisendringen observeres alltid med endring i inntekt. Men første prisendring er også mulig. Det betyr ΔP = ΔY, nå ΔY = ΔM. Derfor oppnår forbrukeren det samme verktøyet som han / hun fikk før endringen i inntekt og pris. Det kalles også som kompensasjonsvariasjon. Endring i inntekt tilsvarer endringen i forbrukerens budsjettbegrensning. Nyttighetsnivået forblir upåvirket og det forblir kontinuerlig over en periode. Det utdypes mer detaljert i følgende eiendom.

Eiendom 2:

Homogen av grad null i (p, y):

Bevis:

Beviset for egenskapen en og to av indirekte nyttefunksjon er gitt i en enkel form.

Anta at v (tp, ty) = [maks u (x) underlagt tpx ≤ ty) som helt klart tilsvarer maks u (x) underlagt px ≤ y]. Dette fordi vi kan dele begge sider av begrensningene med t, der t> o, og det er uten å påvirke settet med bunter som tilfredsstiller det. Følgelig, v (tp, ty) = [maks u (x) underlagt px ≤ y] = U (p, y). Det er enkelt bevis på ovennevnte eiendommer. Det betyr at bruken av x er underlagt pris og inntekt.

Eiendom 3:

Det er strengt økende i y:

Slik eiendom er lett å bevise. Derfor blir det ikke forklart her, men beviset kan forklares i følgende eiendom.

Eiendom 4:

Indirekte nyttefunksjon synker i p :

Bevis:

Eiendom 3 og 4 forklares samtidig som følger. Enhver forbruker er alltid som å øke sin nytte. Forbrukerens budsjettbegrensning kan aldri føre til at det maksimale nivået av oppnåelig nytteverdi synker. Med det gitte inntektsnivået og pris oppnår alltid forbruker høyeste nytteverdi på likegyldighetskurven. Vi antar at verktøyet er strengt positivt og differensierbart, der (p, y) »0 og at u (0) er differensiert med (∂u / x) for alle x» 0.

Homogenitet av den indirekte nyttefunksjonen kan defineres i forhold til priser og inntekt. Her øker u (.) Strengt i denne nyttefunksjonen. Bruksbegrensningen må holde seg til det optimale nivået. Derfor tilsvarer nyttefunksjonen

Vi kan legge Lagrangian for ligning (24) så blir det

For (p, y »0), la oss anta at x * = x (p, y). Nå må vi løse det for ligning (24). Vi må legge til antakelse x * »0. Nå kan vi bruke Lagranges teorem igjen for å konkludere med at det er en λ * ԑR slik at

Både p i og uu (x *) / δxi er positive i liknelsen ovenfor. Vi bruker nå konvoluttsteorem for å fastslå at v (p, y) strengt sett øker i y. Det partielle derivat av minsteverdifunksjonen v (p, y) med hensyn til y er lik det partielle derivat av Langarangian. Det er med hensyn til y evaluert til (x *, λ *),

Dermed øker v (p, y) strengt med inntektene. Det er fordi v er kontinuerlig og øker.

Det elementære beviset på ligningen er ikke avhengig av noen tilleggshypotese. Hvis p0 ≥ p1 og ligning kan løses når p = p0. Da er dette x0 ≥ 0, (p0⎯ p1), x0 ≥ 0, derav p1.x0 ≤ p0 .x0 ≤ y. X0 er mulig innstilt når p = p1. Konklusjonen av egenskapen ovenfor er at v (p1, y) ≥ u (x0) = v (p0 y). Det er ønskelig konklusjon fra tidligere eiendommer.

Eiendom 5:

Quasi konveks i (p, y):

For å bevise denne egenskapen, må vi anta at en forbruker foretrekker en av to ekstreme budsjettsett. Poenget er å vise at v (p, y) er kvasi-konveks i vektoren av priser og inntekter (p, y). Dette beviset er å konsentrere seg om budsjettsettene.

Anta at β1 som er budsjettsettet som er tilgjengelig for forbrukeren, da budsjettsettene er tilgjengelige når priser og inntekt er henholdsvis (p1y1) (p2y2) og (ptyt). De tilgjengelige prisene og inntektene betegnet som pta ”tp1 + (1-t) p2 og yt = y + (1-t) y2. Her har vi tatt tre sannsynligheter.

Valget tas av forbruker når han / hun står overfor budsjettbegrensningen βt. Det er et valg som gjøres når han / hun står overfor β1 eller budsjettsett β2. På hvert bruksnivå kan han / hun oppnå et βt budsjettsett. Det er enkelt å forstå, men et slikt bruksnivå som burde ha oppnådd enten når du står overfor β1 eller β2 budsjett satt. Det maksimale nivået av nytte oppnås over beta-budsjettet som er satt, og det kan ikke være lenger enn i det minste av det følgende.

Det maksimale bruksnivået han / hun kan oppnå ved β1 eller ved β2 budsjett satt. For enkelhets skyld er det maksimale bruksnivået oppnådd ved βt. Det kan ikke være lenger og større av disse to budsjettsettene. Anta at utsagnet er riktig da, vi vet at u (pt, yt) ≤ maks [maks [v [p1, y1), v (p2, y2)] ∀t ϵ [0, 1]. Det tilsvarer utsagnet om at u (p, y) som er kvasi-konveks i (p, y). Vi ønsker å vise at hvis xϵβt så xϵβ1 eller xϵβ2 for alle t ϵ [0, 1], er det lett å forstå. Anta at vi velger enten ekstrem verdi for t, deretter βt budsjett satt sammen med enten β1 eller β2 budsjett satt. Forholdet har liten effekt. Det gjenstår å vise at de holder for alle tϵ (0, 1).

Noen E ß så at:

Det er fordi tϵ (0, 1). Først multipliserer vi med t og den andre ligningen med (1-t).

Vi bevarer ulikheten for å oppnå følgende ligning:

Legger vi over to ligninger, får vi

Eller

Over linjen sier at x ikke er lik ât. Det er i strid med vår opprinnelige antagelse. Vi kan konkludere med at hvis xϵβ1 så er xϵβ1 eller xϵβ2 for alle tϵ (0, 1). Fra tidligere punkter kan det være ønsket at v (p, y) er kvasi-konveks i (p, y).

Eiendom 6:

Roy's Identity:

Det forklarer at forbrukernes marshalliske etterspørsel etter godhet ganske enkelt er forholdet mellom de partielle derivater av indirekte nytteverdi. Det er med hensyn til pi og y etter skilting. Vi har antatt at x * = x (p, y) er strengt tatt positiv løsning. Hvis vi bruker konvoluttsteoremet for å evaluere ∂U (p, y) / ∂pi, gir det følgende ligning

I henhold til ovenfor ligning λ * = ∂u (p, y) / )y> 0, kan følgelig ligning (29) tolkes som

Det er en ønsket funksjon og bevis på ovennevnte eiendom.

 

Legg Igjen Din Kommentar